Image Smoothing Via L0 Gradient Minimization

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论文对图像平滑提出了两个条件，第一：平滑后的图像必须非常接近原来的图像；第二：图像平滑后必须保证边缘不变。对上面两个条件建模得到如下公式：

其中Sp是第p次平滑之后的图像，而Ip是源图像，I不随p的变化而变化。函数C如下公式所示：

这个函数主要用于统计平滑图像垂直和水平方向的梯度不为0的像素之和，也就是保持图像的边界不变。lamda是一个变量控制C和前面的累加的关系。然而这个函数存在一个问题，就是不能进行凸优化。为了解决这个问题将上面的公式进行一下变形。

上面的公式引入了新的位置变量h和v来表示垂直和水平方向的两个梯度，这两个梯度分别是对第一个公式中的S的梯度的一个近似。不过因为引入了新的变量，使得整个方程的求解变为两个部分，第一部分求解S，这一部分很好求解直接利用梯度下降就可以得到结果；第二部分用于求解h和v。

对S的求解可以转化为对上式的求解，而对上式的求解直接利用二次方程的导数等于0的点就是最小值点就可以得到S的求解。不过由于是矩阵的求解，因此论文中提出了利用傅里叶进行加速的方法。公式如下：

第二个部分用于求出h和v。

原来的公式中受h和v影响的只有上面这一部分。将C函数进行一个变形可以紧上面的公式转化为：

其中H是一个二值函数，当传递的参数不等于0时，则返回1，否则返回0.

因此为了得到最小值，需要分情况讨论。

上面是取得最小值的两种情况。因此求出h和v的取值，将整个上面的公式合并得到算法如下：