算法篇：神奇的卡塔兰数Catalan

这段时间复习数据结构，想起来这神奇的卡塔兰数
1.百科简介
卡塔兰数的来历：卡特兰数又称卡塔兰数，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。
2.Catalan数的递推规律

由递推规律可知，前几项为：1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796.。。

Catalan数的通项公式为：

3.Catalan数相关的问题解答

3.1.给定整数N，输出所有匹配的小括号序列。

例如：N=3

输出：

((()))
(()())
(())()
()(())
()()()

public static void brackets(int openStock, int closeStock, String s) {
        if (openStock == 0 && closeStock == 0) {//当开括号的数据和比括号的数目都为零时
            System.out.println(s);
        }
        //如果开括号数大于0，那么就添加一个开括号，开括号的数目-1，闭括号的数目+1
        if (openStock > 0) {
            brackets(openStock-1, closeStock+1, s + "(");
        }
        //如果闭括号的数目大于0，那么就添加一个闭括号，闭括号的数目-1
        if (closeStock > 0) {
            brackets(openStock, closeStock-1, s + ")");
        }
    }

调用：brackets(3,0,"");

2.所有可能的出栈序列

一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列。

例如：入栈序列为123，则出栈序列有：

321
231
213
132
123

package edu.njupt.zhb;
import java.util.Stack;
public class TestStackOut {
	private Stack<String> list = new Stack<String>();//待装入栈的序列，也用栈来实现
	private Stack<String> stack = new Stack<String>();//辅助栈
	private StringBuffer out = new StringBuffer();//输出串
	public  void popStackOrder(){//递归方法
		if(stack.empty() && list.empty()){//栈空，序列也空，则输出
			System.out.println(out);
			return;
		}
		if(!list.empty()){//将list栈中的元素转移到stack
			String str = list.pop();
			stack.push(str);
			popStackOrder();
			str = stack.pop();//复原
			list.push(str);//恢复栈
		}
		if(!stack.empty()){//
			String str = stack.pop();//出栈
			out.append(str);//记录出栈顺序
			popStackOrder();
			out.deleteCharAt(out.length()-1);//复原记录次序
			stack.push(str);//复原
		} 
	}
	public void test(){
		//注意，假设入栈序列是123，倒序装入list栈
		list.push("3");
		list.push("2");
		list.push("1");
		popStackOrder();
	}
	public static void main(String[] args) {
		new TestStackOut().test();
	}
}

类似的逻辑题还有：

电影院买票问题：

有2n个人排队进电影院，票价是50美分。在这2n个人当中，其中n个人只有50美分，另外n个人有1美元（纸票子）。愚蠢的电影院开始卖票时1分钱也没有。问：有多少种排队方法使得每当一个拥有1美元买票时，电影院都有50美分找钱

注：1美元=100美分拥有1美元的人，拥有的是纸币，没法破成2个50美分

解答：很显然结果是卡塔兰数，这个和小括号问题很像。

更多Catalan数相关的问题可以参考：

[1]Catalan数解决的常见问题：http://blog.csdn.net/duanruibupt/article/details/6869431

[2]维基百科：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%A1%E5%A1%94%E5%85%B0%E6%95%B0