HDU 5675 ztr loves math——BestCoder Round #82(div.2)

ztr loves math

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)

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Problem Description

ztr loves research Math.One day,He thought about the "Lower Edition" of triangle equation set.Such as  n=x2−y2 .

He wanted to know that ,for a given number n,is there a positive integer solutions?

 

Input

There are T test cases. 
The first line of input contains an positive integer  T(T<=106)  indicating the number of test cases.

For each test case:each line contains a positive integer , n<=1018 .

 

Output

If there be a positive integer solutions,print  True ,else print  False

 

Sample Input

   
   
   
   

    
    
    
    4
6
25
81
105
   
   
   
   

 

Sample Output

   
   
   
   

    
    
    
    False
True
True
True


    
    
    
    
 
     
 
      Hint 
     
For the fourth case,105 = 
     1 
     3​2​​ 
     − 
     8​2​​ 
    
    
    
    
     
   
   
   
   

 

Source

BestCoder Round #82 (div.2)

 

/************************************************************************/

附上该题对应的中文题

ztr loves math

 

 

 Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)

 

 Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)

问题描述

ztr喜欢研究数学，一天，他在思考直角三角形方程组的Lower版，即n=x^{2}-y^{2}n=x​2​​−y​2​​，他想知道，对于给出的n，是否会有正整数解。

输入描述

有T组数据，第一行为一个正整数T(T<=10^{6})T(T<=10​6​​)，每一行一个正整数n，n <=10^{18}n<=10​18​​

输出描述

如果有正整数解，输出$True$，否则输出$False$

输入样例

4
6
25
81
105

输出样例

False
True
True
True

Hint

对于第四个样例，有一组解13^{2}-8^{2}=10513​2​​−8​2​​=105

/****************************************************/

出题人的解题思路：

1001.Solution

考虑题目的原型，即给定$z$，寻找是否存在一组$(x,y)$，满足x^{2}-y^{2}=zx​2​​−y​2​​=z

我们可以构造两组等式\begin{bmatrix} (k+1)^{2}-k^{2}=2k+1 \ (k+1)^{2}-(k-1)^{2}=4k \end{bmatrix}[​(k+1)​2​​−k​2​​=2k+1​(k+1)​2​​−(k−1)​2​​=4k​​]， 很容易得出结论，当z为奇数或者4的倍数时，方程一定有正整数解

此题的注意点在于n=1与n=4的情况,这两种情况算出来的y均为0,但题目明确指出是正整数解

故而x+y与x-y必定同奇同偶

①当x+y与x-y同为奇数时,不妨构造x-y=1

那么只需n≠1且n为奇数,那么方程组必定有解;

②当x+y与x-y同为偶数时,不妨构造x-y=2

那么只需n≠4且n为4的倍数,那么方程组必定有解

/*Sherlock and Watson and Adler*/
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<queue>
#include<stack>
#include<math.h>
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#include<map>
#include<set>
#include<cmath>
#include<complex>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define exp 1e-10
using namespace std;
const int N = 100005;
const int M = 40;
const int inf = 100000000;
const int mod = 2009;
int main()
{
    int t;
    __int64 n;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%I64d",&n);
        if(n%2&&n!=1)
            puts("True");
           else if(n!=4&&n%4==0)
               puts("True");
        else
            puts("False");
    }
    return 0;
}

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