hdu 3861强连通分量+最小图匹配

这个题卡了好久,发现还有什么二分图匹配这个东西。。然后简单搞了一下

二分图:

二分图又称二部图,是图论中的一种特殊模型。设G=(V,E)是一个无向图,如果顶点V可以分割为两个互不相交的子集(A,B),并且图中的每条边(i,j)所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A, j in B), 则称图G是二分图。e.g.
匹配:
给定一个二分图,在G的一个子图G’中,如果G’的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点,则称G’的边集为G的一个匹配
最大匹配:
在所有的匹配中,边数最多的那个匹配就是二分图的最大匹配了
顶点覆盖:
在顶点集合中,选取一部分顶点,这些顶点能够把所有的边都覆盖了。这些点就是顶点覆盖集
最小顶点覆盖
在所有的顶点覆盖集中,顶点数最小的那个叫最小顶点集合。
独立集:
在所有的顶点中选取一些顶点,这些顶点两两之间没有连线,这些点就叫独立集
最大独立集:
在左右的独立集中,顶点数最多的那个集合
路径覆盖:
在图中找一些路径,这些路径覆盖图中所有的顶点,每个顶点都只与一条路径相关联。
最小路径覆盖:
在所有的路径覆盖中,路径个数最小的就是最小路径覆盖了。
熟悉了这些概念之后,还有一个二分图最大匹配的König定理,这个定理的内容是:最大匹配 = 最小顶点覆盖。此处不证明其正确性。有了这个定理之后还可以得出一些二分图 特有的公式:
最大独立集= 最小路径覆盖数 = 顶点个数 – 最小顶点覆盖(最大匹配)
这个公式,我们可以利用最大匹配来找到最大的独立集。而最大独立集和最小路径覆盖有个千丝万缕的关系。

对于二分图的最大匹配,常用的求解方法是hungarian算法和最大流算法。

此题就是求最小路径覆盖

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <vector>
#include <stack>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 20005
stack<int>sta;
vector<int>mp[N];
vector<int>mp2[N];
int match[N];
int dfn[N];
int low[N];
int InStack[N];
int indexx,number;
int n, m;
int id[N];
int vis[N];

void tarjan(int u)
{
    InStack[u] = 1;
    low[u] = dfn[u] = ++ indexx;
    sta.push(u);

    for (int i = 0; i < mp[u].size(); ++ i)
    {
        int t = mp[u][i];
        if (dfn[t] == 0)
        {
            tarjan(t);
            low[u] = min(low[u], low[t]);
        }
        else if (InStack[t] == 1)
        {
            low[u] = min(low[u], dfn[t]);
        }
    }

    if (low[u] == dfn[u])
    {
        ++ number;
        while (!sta.empty())
        {
            int v = sta.top();
            sta.pop();
            id[v]=number;
            InStack[v] = 0;
            if (v == u)
                break;
        }
    }
}

int path(int s)//求匹配度
{
    for(int i=0; i<mp2[s].size(); i++)
    {
        int v=mp2[s][i];
        if(!vis[v])
        {
            vis[v]=true;
            if(match[v]==-1 || path(match[v]))
            {
                match[v]=s;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}

int main()
{
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    int T;
    while(scanf("%d",&T)==1)
    {
        while(T--)
        {
            scanf("%d%d",&n,&m);
            memset(dfn, 0, sizeof(dfn));
            memset(low, 0, sizeof(low));
            memset(InStack, 0, sizeof(InStack));
            indexx = number = 0;
            for (int i = 1; i <= n; ++ i)
            {
                mp[i].clear();
                mp2[i].clear();
            }
            while(!sta.empty())
                sta.pop();
            for(int i=1; i<=m; i++)
            {
                int a,b;
                scanf("%d%d",&a,&b);
                mp[a].push_back(b);
            }
            for(int i=1; i<=n; i++)
                if(!dfn[i])
                    tarjan(i);
            memset(dfn, 0, sizeof( dfn));
            memset(low, 0, sizeof (low));
            for(int i=1; i<=n; i++)
            {
                for(int j=0; j<mp[i].size(); j++)
                {
                    if(id[i]!=id[mp[i][j]]) mp2[id[i]].push_back(id[mp[i][j]]);
                }
            }
            memset(match,-1,sizeof(match));
            int ans=0;
            for(int i=1; i<=number; i++) 
            {
                memset(vis,false,sizeof(vis));
                ans+=path(i);
            }
            printf("%d\n",number-ans);
        }
    }
}




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