BJOI2014 Euler 一道简单的数论暴力

题目大意

给你一个数 y 要求输出一个满足 φ(x)=y 的最小的 x ,有 T 组询问。

y<=1012
1<=T<=2

解题思路

求 φ(x) 时有一个众所周知的公式是 φ(x)=x∗Πpi−1pi （ pi 为 x 的所有质因子）,也就是说这我们可以得到等式
         φ(x)=y
x∗Πpi−1pi=y （等式一）
               x=y∗Πpipi−1 （等式二）
由等式一可知，因为 pi 都是 x 的质因子，所以我们可以把下面的 pi 都与 x 约掉，然后我们就发现 x 的质因子要不就是 y 的质因子，要不就是 y 的约数加一，并且如果 y 有 pi 这个质因子，也必定存在 pi−1 这个约数。而由等式二可知我们只需要找出 Πpi−1pi 最小的符合要求的解就行了。不难发现符合要求的 y 的质因子只有1000多个，那么我们只需暴力判断每个质数选不选再加个全局最优解的优化就可以了。

程序

#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int MAXN = 7e3;
typedef long long LL;

LL N, Ans, Fac[MAXN], Pri[MAXN];
int tot, cnt;

void Prepare(LL N) {
    for (LL i = 1; i * i < N; i ++) {
        if (N % i != 0) continue;
        Fac[++ tot] = i;
        if (1ll * i * i == N) continue;
        Fac[++ tot] = N / i;
    }
}

bool IsPrime(LL Now) {
    for (LL i = 2; i * i <= Now; i ++) 
        if (Now % i == 0) return 0;
    return 1;
}

void GetPri() {
    for (int i = 1; i <= tot; i ++) 
        if (IsPrime(Fac[i] + 1)) Pri[++ cnt] = Fac[i] + 1;
}

bool cmp(LL a, LL b) { return a > b;}

bool Check(LL Num, LL Now) {
    if (Now == 1) return 1;
    if (Now % Pri[Num] == 0) return Check(Num, Now / Pri[Num]);
    return 0;
}

void Dfs(int Num, LL Now, LL S) {
    if (Num > cnt || S > Ans || Now == 1) return;
    if (Now % (Pri[Num] - 1) != 0) {
        Dfs(Num + 1, Now, S);
        return;
    }
    if (Now % (Pri[Num] - 1) == 0 && Check(Num, Now / (Pri[Num] - 1))) 
        Ans = min(Ans, S / (Pri[Num] - 1) * Pri[Num]);
    LL Ord = (Pri[Num] - 1);
    for (; Now % Ord == 0; Ord *= Pri[Num]) 
        Dfs(Num + 1, Now / Ord, S / (Pri[Num] - 1) * Pri[Num]);
    Dfs(Num + 1, Now, S);
}

void Solve(LL N) {
    Ans = (N == 1) ? N : N * 10;
    tot = cnt = 0;
    Prepare(N);
    GetPri();
    sort(Pri + 1, Pri + 1 + cnt, cmp);
    Dfs(1, N, N);
}

int main () {
    int Test;
    scanf("%d", &Test);
    for (; Test; Test --) {
        scanf("%lld", &N);
        Solve(N);
        printf("%lld\n", Ans);
    }
}