[BZOJ 1038][ZJOI 2008]瞭望塔(半平面交)

题目链接

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1038

思路

这个题在上海ACM/ICPC冬令营的比赛中也考过，不是很难，不过想要想到用半平面交来搞还是不容易的。

如上图，手模下可以发现一个点要想看到所有的山顶，肯定是要在相邻两个山顶连线的半平面交中。那么显然这个相对高度最小的点肯定是在半平面交的边界上，因此有如下两种情况：
1、这个点在半平面交边界上两个直线的交点处(代码中的calc2())
2、这个点在某个山顶在半平面交的边界的投影处(代码中的calc1())
可以脑补下，答案对应的点肯定是这两种情况之一，至于证明嘛。。。实在难以表述出来(谁会证明的请告诉我，感激不尽)

然后在代码的实现上偷了点小懒。。。之前翻其他人题解，无非就是两种做法：1、解析几何法求直线交点，2、叉积+定比分点公式求交，考虑到这个题的题面已经限制了没有两条直线垂直的情况（ x1<x2<...<xn ），加上最后要求相对高度时用解析几何法来得方便些，于是你懂的。

代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>

#define MAXN 1000

using namespace std;

int top=0;

struct Point
{
    double x,y;
    Point(){}
    Point(double _x,double _y):x(_x),y(_y){}
}points[MAXN];

Point operator-(Point a,Point b)
{
    return Point(a.x-b.x,a.y-b.y);
}

double cross(Point a,Point b)
{
    return a.x*b.y-a.y*b.x;
}

struct Line
{
    Point a,b;
    double k,c; //y=kx+c
    void get()
    {
        k=(a.y-b.y)/(a.x-b.x);
        c=a.y-k*a.x;
        //if(a.x>b.x) swap(a,b);
    }
}lines[MAXN],stack[MAXN];

int n;
double ans=1e12;

Point getIntersec(Line a,Line b) //求直线a、b交点
{
    Point t;
    t.x=(a.c-b.c)/(b.k-a.k);
    t.y=t.x*a.k+a.c;
    return t;
}

void Insert(Line t)
{
    while(top>=2)
    {
        if(getIntersec(stack[top-1],stack[top]).x>getIntersec(stack[top],t).x) top--;
        else break;
    }
    stack[++top]=t;
}

void halfPanelIntersec()
{
    for(int i=1;i<n;i++)
        Insert(lines[i]);
}

double calc1(double x)
{
    double maxh=0;
    for(int i=1;i<=top;i++)
        maxh=max(maxh,stack[i].k*x+stack[i].c);
    return maxh;
}

double calc2(double x) //查找山上横坐标为x的纵坐标y
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(points[i].x>=x)
            return points[i].y-(points[i].y-points[i-1].y)*(points[i].x-x)/(points[i].x-points[i-1].x);
    }
    return 0;
}

bool cmp(Line a,Line b)
{
    return a.k<b.k;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lf",&points[i].x);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lf",&points[i].y);
    for(int i=1;i<n;i++)
        lines[i].a=points[i],lines[i].b=points[i+1],lines[i].get();
    sort(lines+1,lines+n,cmp);
    halfPanelIntersec();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans=min(ans,calc1(points[i].x)-points[i].y);
    for(int i=1;i<top;i++)
    {
        Point tmp=getIntersec(stack[i],stack[i+1]);
        ans=min(ans,tmp.y-calc2(tmp.x));
    }
    printf("%.3lf\n",ans);
    return 0;
}