GDOI2016模拟3.15 圈地游戏 暴力图论

题目大意

给定一个 N∗M 的棋盘，棋盘上有障碍，陷阱和宝藏，每个宝藏都有一个权值。现在要求从起始位置用折线围出一个合法的多边形，其内部不能含有陷阱，并且不能经过障碍，而得到的收益为其围住的宝藏权值之和减去多边形的周长。现在要求输出最大的收益。（“B”为陷阱，”#”为障碍，数字为宝藏，“.”为空地，”S”为起始位置）

宝藏加陷阱的数量 ≤8
N,M≤20

注：题目已经给出判断一个点是否在一个·多边形内的方法，为给需要判断的点向一个任意方向折出一条射线，如果有偶数个交点则这个点在多边形外部，否则就在内部（如果射线交于多边形上的一个定点，我们可以规定一个方向，每次累计边数时只累计固定方向的边）

解题思路

由于需要维护的点就只有宝藏和陷阱，而这两种东西总共只有8个所以我们需要考虑的点也就是由8个，我们暂且称为关键点。

首先为了判断一个点是否在多变围成的多变形内，我们可以先固定一个方向，所以我们就可以预处理出经过一个格子会改变哪些关键点所处射线交点的奇偶性。由于只有8个关键点，所以我们可以用一个二进制存下来。

那么现在问题就变得简单了，我们可以用状态 Fx y k 表示到达坐标 （x,y） 时每个关键点射线与当前围出线段交点的奇偶性，由于我们已经预处理出每个格子会对每个关键点造成的影响，我们只需要维护每种状态的最小周长。转移时我们要求的是周长尽量小，而每次转移只会是周长加1，那么我们就可以用 BFS 暴力转移。最后再根据状态统计答案就可以了。

程序

//YxuanwKeith
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;
typedef long long LL;

const int MAXN = 25, MAXP = 1 << 8, Inf = 1e9 + 7;

struct BfsType {int x, y, state;} D[MAXN * MAXN * MAXP];

int fx[4][2] = {{1, 0}, {0, 1}, {-1, 0}, {0, -1}};
int N, M, X, Y, Num, Prec, Val[10], Ord[MAXN][MAXN], Add[MAXN][MAXN], Map[MAXN][MAXN][MAXP];
char S[MAXN][MAXN];
bool Flag[MAXN][MAXN][MAXP];

void Prepare() {
    for (int i = 1; i <= N; i ++)
        for (int j = 1; j <= M; j ++)
            if (S[i][j] == 'B') Ord[i][j] = ++ Prec;
    for (int i = 1; i <= N; i ++)
        for (int j = 1; j <= M; j ++) {
            if (S[i][j] == 'S') X = i, Y = j;
            if (S[i][j] == 'S' || S[i][j] == '.')
                for (int k = i + 1; k <= N; k ++)   
                    if (Ord[k][j]) Add[i][j] |= (1 << (Ord[k][j] - 1));
        }
}

void Bfs() {
    memset(Map, 60, sizeof Map);
    int l = 1, r = 1;
    D[r].x = X, D[r].y = Y, D[r].state = 0;
    Flag[X][Y][0] = 1;
    Map[X][Y][0] = 0;
    for (; l <= r; l ++) {
        int x = D[l].x, y = D[l].y, state = D[l].state;
        for (int i = 0; i < 4; i ++) {
            int xx = x + fx[i][0], yy = y + fx[i][1];
            if (S[xx][yy] == 'S' || S[xx][yy] == '.') {
                int New = state;
                if (i == 1) New ^= Add[x][y];
                if (i == 3) New ^= Add[xx][yy];
                if (Map[x][y][state] + 1 >= Map[xx][yy][New]) continue;
                Map[xx][yy][New] = Map[x][y][state] + 1;
                if (Flag[xx][yy][New]) continue;
                Flag[xx][yy][New] = 1;
                D[++ r].x = xx, D[r].y = yy, D[r].state = New;
            }
        }
        Flag[x][y][state] = 0;
    }
}

void GetAns() {
    LL Ans = 0;
    for (int i = 0; i < (1 << Prec); i ++) {
        LL S = 0;
        for (int j = 0; j < Prec; j ++) 
            if (i & (1 << j)) S += Val[j + 1];
        Ans = max(Ans, S - Map[X][Y][i]);
    }
    printf("%lld", Ans);    
}

int main() {    
    scanf("%d%d", &N, &M);
    Prec = 0;
    for (int i = 1; i <= N; i ++) {
        scanf("%s", S[i] + 1);
        for (int j = 1; j <= M; j ++) 
            if (S[i][j] >= '0' && S[i][j] <= '9') ++ Prec, Ord[i][j] = S[i][j] - '0';
    } 
    for (int i = 1; i <= 8; i ++) Val[i] = -Inf;
    for (int i = 1; i <= Prec; i ++) scanf("%d", &Val[i]);
    Prepare();
    Bfs();
    GetAns();
}