下面先来看一下spfa是什么
转载自http://www.cnblogs.com/scau20110726/archive/2012/11/18/2776124.html
粗略讲讲SPFA算法的原理,SPFA算法是1994年西安交通大学段凡丁提出
是一种求单源最短路的算法
算法中需要用到的主要变量
int n; //表示n个点,从1到n标号
int s,t; //s为源点,t为终点
int d[N]; //d[i]表示源点s到点i的最短路
int p[N]; //记录路径(或者说记录前驱)
queue <int> q; //一个队列,用STL实现,当然可有手打队列,无所谓
bool vis[N]; //vis[i]=1表示点i在队列中 vis[i]=0表示不在队列中
几乎所有的最短路算法其步骤都可以分为两步
1.初始化
2.松弛操作
初始化: d数组全部赋值为INF(无穷大);p数组全部赋值为s(即源点),或者赋值为-1,表示还没有知道前驱
然后d[s]=0; 表示源点不用求最短路径,或者说最短路就是0。将源点入队;
(另外记住在整个算法中有顶点入队了要记得标记vis数组,有顶点出队了记得消除那个标记)
队列+松弛操作
读取队头顶点u,并将队头顶点u出队(记得消除标记);将与点u相连的所有点v进行松弛操作,如果能更新估计值(即令d[v]变小),那么就更新,另外,如果点v没有在队列中,那么要将点v入队(记得标记),如果已经在队列中了,那么就不用入队
以此循环,直到队空为止就完成了单源最短路的求解
SPFA可以处理负权边
定理: 只要最短路径存在,上述SPFA算法必定能求出最小值。
证明:
每次将点放入队尾,都是经过松弛操作达到的。换言之,每次的优化将会有某个点v的最短路径估计值d[v]变小。所以算法的执行会使d越来越小。由于我们假定图中不存在负权回路,所以每个结点都有最短路径值。因此,算法不会无限执行下去,随着d值的逐渐变小,直到到达最短路径值时,算法结束,这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值。(证毕)
期望的时间复杂度O(ke), 其中k为所有顶点进队的平均次数,可以证明k一般小于等于2。
判断有无负环:
如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环(SPFA无法处理带负环的图)
拿杭电的通畅工程续来练了个手
#include<stdio.h> #include<queue> #include<string.h> using namespace std; int map[220][220]; int vis[220]; int dis[220]; int c[220]; //判断负环 #define INF 99999999 void spfa(int s,int n) { queue<int> q; memset(vis,0,sizeof(vis)); for(int i=0;i<n;i++) dis[i]=INF; memset(c,0,sizeof(c)); q.push(s); vis[s]=1; dis[s]=0; c[s]=1; while(!q.empty()) { int x=q.front(); q.pop();vis[x]=0; for(int i=0;i<n;i++) if(i!=x) { if(dis[i]>dis[x]+map[x][i]) { dis[i]=dis[x]+map[x][i]; if(vis[i]==0) { vis[i]=1; c[i]++; q.push(i); } } } } return ; } int main() { int n,m,i,j,k,a,b,x,s,e; while(~scanf("%d%d",&n,&m)) { for(i=0;i<n;i++) for(j=0;j<n;j++) if(i!=j)map[i][j]=INF; else map[i][j]=0; for(i=1;i<=m;i++) {scanf("%d%d%d",&a,&b,&x); if(x<map[a][b]) {map[a][b]=x; map[b][a]=x; } } scanf("%d%d",&s,&e); spfa(s,n); if(dis[e]<INF)printf("%d\n",dis[e]); else printf("-1\n"); } return 0; }(ctr的自我吐槽……不会用前向星,不会用链表……只会用邻接矩阵……省赛要完……)