[BZOJ 1069][SCOI 2007]最大土地面积(凸包+旋转卡壳)

题目链接

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1069

思路

计算几何的题真心不好做啊。。。
显然最大的四边形的四个点肯定是在凸包上的，因此第一步就是用Graham算法把凸包求出来，这个很简单就不罗嗦了。
然后就是旋转卡壳了，很多人的题解里都说了是枚举四边形的一条对角线，然后卡出对角线两边的那两个点，更新面积最大值，复杂度是 O(n2) 。刚开始我很奇怪，为什么这样做复杂度是 O(n2) 的？不应该是 枚举对角线的O(n2)∗卡壳的O(n)=O(n3) 吗？大概是之前写这个题题解的都比较神犇，并没有讲这个题的实现细节。实际上只是枚举了对角线的一个端点 i ，而另一个点 p2 是按照凸包的点的逆时针顺序有序枚举的，这就和普通的旋转卡壳非常相似，在这同时，还要顺便维护对角线两边的两个点 p1,p3 ，显然最终的答案就是 SΔip1p2+SΔip2p3 ,那么现在相当于是两个三角形的公共边 ip2 固定了，让两个三角形各自的面积都最大，显然这两个三角形的面积都是单峰函数，那么现在这个题做法就和旋转卡壳求最远点对的方法非常相近了，即确定下来 i、p2 的位置后，利用单峰函数的特性，用两个while循环快速得到两个三角形各自的面积的最大值。这样做复杂度就成了 O(n2) 了(PS：这个 O(n2) 应该是有个比较大的常数，就是两个while循环，不过此题 n 比较小没关系)

代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <cmath>

#define MAXN 2500
#define EPS 1e-7

using namespace std;

int n;
double ans=0;

inline int dcmp(double x)
{
    if(fabs(x)<EPS) return 0;
    if(x>EPS) return 1;
    return -1;
}

struct Point
{
    double x,y;
    Point(){}
    Point(double _x,double _y):x(_x),y(_y){}
    void read()
    {
        scanf("%lf%lf",&x,&y);
    }
}points[MAXN],stack[MAXN<<1],o; //o是原点

int top=0;

bool cmp(Point a,Point b)
{
    if(!dcmp(a.x-b.x)) return a.y<b.y;
    return a.x<b.x;
}

Point operator-(Point a,Point b)
{
    return Point(a.x-b.x,a.y-b.y);
}

double cross(Point a,Point b,Point c) //a->b 叉积 a->c
{
    return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(c.x-a.x)*(b.y-a.y);
}

double Cross(Point a,Point b,Point c,Point d)  //求向量a->b叉积向量c->d
{
    return cross(o,b-a,d-c);
}

void Graham() //Graham求凸包
{
    sort(points+1,points+n+1,cmp);
    top=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) //维护下凸壳
    {
        while(top>=2&&dcmp(cross(stack[top-1],stack[top],points[i]))<=0) top--;
        stack[++top]=points[i];
    }
    int tmp=top;
    for(int i=n-1;i>=1;i--) //维护上凸壳
    {
        while(top>=tmp+1&&dcmp(cross(stack[top-1],stack[top],points[i]))<=0) top--;
        stack[++top]=points[i];
    }
}

void rotcalip() //旋转卡壳求最远点对
{
    for(int i=1;i<top;i++) stack[top+i-1]=stack[i]; //将栈中元素复制一遍，stack[top]==stack[1]，因此不要保留下stack[top]
    for(int i=1;i<top;i++) //枚举对角线的一个端点i
    {
        int p1=i+1; //p2是对角线的另一个端点，p2、p3是不在对角线上的两个顶点
        int p2=p1+1;
        int p3=p2+1;
        for(;p2<i+top-1;p2++) //i和p2两个点做卡壳
        {
            while(1) //先卡出最大三角形i-p2-p1,这个三角形面积是个单峰函数，因此可以一遍while找出来使得面积最大的点p1
            {
                if(dcmp(Cross(stack[i],stack[p2],stack[p1],stack[p1+1]))>=0) break; //!!!!!
                else p1++;
            }
            while(1) //再卡出最大三角形i-p2-p3,这个三角形面积是个单峰函数，因此可以一遍while找出来使得面积最大的点p3
            {
                if(dcmp(Cross(stack[p2],stack[i],stack[p3],stack[p3+1]))>=0) break; //!!!!
                else p3++;
                if(p3>=i+top-1) break; //不能爆范围
            }
            if(p3>=i+top-1) break;
            ans=max(ans,(fabs(cross(stack[i],stack[p1],stack[p2]))+fabs(cross(stack[i],stack[p2],stack[p3])))/2);
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) points[i].read();
    Graham();
    rotcalip();
    printf("%.3lf\n",ans);
    return 0;
}