七大数学难题

    千禧年大奖难题 （Millennium Prize Problems ） ，是七个由美国 克雷数学研究所 （Clay Mathematics Institute ,CMI）于2000年 5月24日 公布的数学难题。根据克雷数学研究所订定的规则，所有难题的解答必须发表在数学期刊 上，并经过各方验证，只要通过两年验证期，每解破一题的解答者，会颁发奖金100万美元。

     这些难题是呼应1900年 德国 数学家 大卫·希尔伯特 在巴黎提出的23个历史性数学难题 ，经过一百年，许多难题已获得解答。而千禧年大奖难题的破解，极有可能为密码学 以及航天 、通讯 等领域带来突破性进展。

 

        “千僖难题”之一：Ｐ（多项式算法）问题对ＮＰ（非多项式算法）问题 　

　　在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位 正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审 视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉 你，数１３，７１７，４２１可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为３６０７乘上３８０３，那么你就 可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来 求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文?考克（ＳｔｅｐｈｅｎＣｏｏｋ）于１９７１年陈述的。　　　

　   “千僖难题”之二： 霍奇(Hodge)猜想

　　二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单 几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形 形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍 奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。　　

　   “千僖难题”之三： 庞加莱(Poincare)猜想

　　如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的 橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大 约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即 变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。　　

    “千僖难题”之四： 黎曼(Riemann)假设

　　有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。 在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓 黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解 验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。　　

　 “千僖难题”之五： 杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口

　　量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒 子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯 坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于 “夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的 新观念。　　

　 “千僖难题”之六： 纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性

　　起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都 可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质 性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。

　 “千僖难题”之七： 贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想

　　数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂 的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来 确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附 近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。

 

    进展：

    P/NP问题 （P versus NP ）

     2010.08.06    一位名为Vinay Deolalikar的70后印度籍惠普研究员在自己的网站发布了一篇名为“P is not equal to NP”的论文（点击下载 ），也就是说，他认为自己证明了P不等于NP！

      他已经将论文发给多位各个领域的顶尖专家进行同行评审。目前尚没有得到任何正式的确认 。不过，这个问题的提出者、图灵奖得主Stephen Cook 评论，（Deolalikar的）“声明看上去比较严肃” 。

      MIT的助理教授Scott Aaronson（他曾经写过一篇文章《所谓数学突破的十个错误标志 》）显然不太相信这个问题能比较容易地解决，他发表博客，表示如果Deolalikar被授予了100万Clay千禧大奖，他愿意个人掏腰包再奖20万美元。

      著名的计算理论博客、佐治亚理工学院计算机科学教授Dick Lipton也发表文章 简单解释了论文的思路，认为这项工作是严肃的。Lipton在文中说，Deolalikar是通过有限模型理论搭桥，引出反证，用到了Moshe Vardi (1982) 和Neil Immerman (1986)的结论。

      8月9日，Lipton又综合已有的对论文的评论，发表了新的文章，认为证明肯定存在错误，但他又表示，这是任何突破性研究都无法避免的。该证明的策略是否证明，存在的问题是否能够修正，仍然有待研究。

      此外，犹他大学计算机学院的助理教授Suresh Venkatasubramanian通过Google Docs（链接 ,可能无法访问）来讨论这一证明，充分利用集体智慧，你也可以加入！文档本身应该是LaTeX格式的。

 

     庞加莱猜想 （The Poincaré Conjecture

     在2002年 11月和2003年 7月之间，俄罗斯 的数学家格里戈里·佩雷尔曼 在arXiv.org 发表了三篇论文预印本，并声称证明了几何化猜想 。在佩雷尔曼之后，先后有3组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密歇根大学 的布鲁斯·克莱纳 和约翰·洛特 ；哥伦比亚大学 的约翰·摩根 和麻省理工学院 的田刚 ；以及理海大学 的曹怀东 和中山大学 的朱熹平 。据报道^[1] ，2006年 6月3日 ，丘成桐 曾表示曹怀东和朱熹平第一个给出了庞加莱猜想的完全证明^[2] 。2006年 8月，第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖，但佩雷尔曼拒绝接受该奖^[3] 。数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。2010年3月18日，克雷数学研究所对外公布，格里高利·佩雷尔曼因为破解庞加莱猜想而荣膺千禧年大奖 ^[4] 。