矩阵构造总结

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Another kind of Fibonacci

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Problem Description

As we all known , the Fibonacci series : F(0) = 1, F(1) = 1, F(N) = F(N - 1) + F(N - 2) (N >= 2).Now we define another kind of Fibonacci : A(0) = 1 , A(1) = 1 , A(N) = X * A(N - 1) + Y * A(N - 2) (N >= 2).And we want to Calculate S(N) , S(N) = A(0)2 +A(1)2+……+A(n)2.

 

Input

There are several test cases.
Each test case will contain three integers , N, X , Y .
N : 2<= N <= 231 – 1
X : 2<= X <= 231– 1
Y : 2<= Y <= 231 – 1

 

Output

For each test case , output the answer of S(n).If the answer is too big , divide it by 10007 and give me the reminder.

 

Sample Input

2 1 1 

3 2 3 

 

Sample Output

6

196

 

下为解题报告：林大陈宇

该题为矩阵连乘问题，主要考虑以下公式：

f(n)=x*f(n-1)+y*f(n-2)

先看 s(n)=s(n-1)+f(n)^2;

右边出现了n，不可以的，只能出现n-1  或n-2

所以：s(n-1)=s(n-2)+f(n-1)^2;  右边有2项，s(n-2)和f(n-1)^2必须要有了

  S(n-2)-----------às(n-1)

   F(n-1)^2------à f(n)^2=[xf(n-1)+yf(n-2)]^2=出现了f(n-2)^2和2xyf(n-1)f(n-2),所以共4项

最左边是1个空的矩阵(4*4)，也是我们要构造的矩阵（只要学过矩阵的人，就能把它算出来了吧）

然后代入矩阵连乘幂的模板算下就行了（该模板要会背着敲）

#include <iostream>

#include <stdio.h>

#include <cstring>

#define Mod 10007

using namespace std;

const int MAX = 4;

typedef  struct{

         int  m[MAX][MAX];

}  Matrix;

Matrix P={1,1,0,0,

          0,0,0,0,

          0,1,0,0,

          0,0,0,0};

Matrix I={1,0,0,0,

          0,1,0,0,

          0,0,1,0,

          0,0,0,1};

Matrix matrixmul(Matrix a,Matrix b) //矩阵乘法

{

       int i,j,k;

       Matrix c;

       for (i = 0 ; i < MAX; i++)

           for (j = 0; j < MAX;j++)

             {

                 c.m[i][j] = 0;

                 for (k = 0; k < MAX; k++)

                     c.m[i][j] += (a.m[i][k]* b.m[k][j])%Mod;

                 c.m[i][j] %= Mod;

             }

       return c;

}

Matrix quickpow(long long n)

{

      Matrix m = P, b = I;

              while (n >= 1)

       {

             if (n & 1)

                b = matrixmul(b,m);

             n = n >> 1;

             m = matrixmul(m,m);

       }

       return b;

}

int main()

{

    int n,x,y,sum;

    Matrix b;

/    while(cin>>n>>x>>y)

    {

      sum=0;

      x=x%Mod;

      y=y%Mod;

      P.m[1][1]=(x*x)%Mod;P.m[1][2]=(y*y)%Mod;P.m[1][3]=(2*x*y)%Mod;

      P.m[3][1]=x;P.m[3][3]=y;

        b=quickpow(n);

        for(int i=0;i<4;i++)

        sum+=b.m[0][i]%Mod;

        cout<<sum%Mod<<endl;

    }

        return 0;

}

注意： 注意每一步都要取模，别怕麻烦；

       对于x和y要是取负数的话（本题没有），则要(data%mod+mod)%mod;

       正的就直接data%mod就行；

       typedef  struct{

         int  m[MAX][MAX];

}  Matrix;

该结构体的定义要注意，若将int  类型换成long long ，则运行时间会翻倍，可能会TLE,注意哦

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有兴趣的同学可以接着看，很有收获的，下面的方法和我的类似，我是把够造矩阵A放在左边，它是放在中间的，请用我的方法推1下，我给答案了。

构造常系数矩阵！

（一）Fibonacci数列f[n]=f[n-1]+f[n-2],f[1]=f[2]=1的第n项的快速求法（不考虑高精度）.

解法：

考虑1×2的矩阵【f[n-2],f[n-1]】。根据fibonacci数列的递推关系，我们希望通过乘以一个2×2的矩阵，得到矩阵【f[n-1],f[n]】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]】

很容易构造出这个2×2矩阵A，即：

０ １ 
１ １

所以，有【f[1],f[2]】×A＝【f[2],f[3]】

又因为矩阵乘法满足结合律，故有：

【f[1],f[2]】×A n-1=【f[n],f[n+1]】

这个矩阵的第一个元素即为所求。

至于如何快速求出A n-1，相信大家都会，即递归地：n为偶数时，An=(A n/2)2；n为奇数时，An=(A n/2)2*A。

问题（一）解决。

我的方法：    （a）

还是填空：

     还没会吗？ (a)式中左边的空矩阵就是让你填的A

（二）数列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+1,f[1]=f[2]=1的第n项的快速求法（不考虑高精度）.

解法：

仿照前例，考虑1×3的矩阵【f[n-2],f[n-1],1】，希望求得某3×3的矩阵A，使得此1×3的矩阵乘以A得到矩阵：【f[n-1],f[n],1】＝【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]+1,1】

容易构造出这个3×3的矩阵A，即：

０ １ ０ 
１ １ ０ 
０ １ １

问题（二）解决。

我的推法：

A是3*3的矩阵，填空吧

（三）数列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+n+1,f[1]=f[2]=1的第n项的快速求法（不考虑高精度）.

解法：

仿照前例，考虑1×4的矩阵【f[n-2],f[n-1],n,1】，希望求得某4×4的矩阵A，使得此1×4的矩阵乘以A得到矩阵：

【f[n-1],f[n],n+1,1】＝【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]+n+1,n+1,1】

容易构造出这个4×4的矩阵A，即：

０ １ ０ ０ 
１ １ ０ ０ 
０ １ １ ０ 
０ １ １ １

问题（三）解决……

我自己的推法

接着填空：

四）数列f[n]=f[n-1]+f[n-2],f[1]=f[2]=1的前n项和s[n]的快速求法（不考虑高精度）.

解法：

虽然我们有S[n]=F[n+2]-1，但本文不考虑此方法，我们想要得到更一般的方法。

考虑（一）的矩阵A，容易发现我们要求【f[1],f[2]】×（A+A2+A3+…+AN-1）。很多人使用一种很数学的方法构造一个2r*2r（r是A的阶数，这里为2）的矩阵来计算，这种方法比较麻烦且很慢，这里不再介绍。下面考虑一种新方法。

仿照之前的思路，考虑1×3的矩阵【f[n-2],f[n-1],s[n-2]】，我们希望通过乘以一个3×3的矩阵A，得到1×3的矩阵：

【f[n-1],f[n],s[n-1]】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2],s[n-2]+f[n-1]】

容易得到这个3×3的矩阵是：

０ １ ０ 
１ １ １ 
０ ０ １

然后…………容易发现，这种方法的矩阵规模是(r+1)*(r+1)，比之前流行的方法好得多。

我用分块矩阵做过这题，但该方法的确应该推广，是主流的思想。

我的推法：

，所以矩阵见下，填空

为所求

（五）数列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+n+1,f[1]=f[2]=1的前n项和s[n]的快速求法（不考虑高精度）.

解法：

结合（三）（四），容易想到……

考虑1×5的矩阵【f[n-2],f[n-1],s[n-2],n,1】,

我们需要找到一个5×5的矩阵A，使得它乘以A得到如下1×5的矩阵：

【f[n-1],f[n],s[n-1],n+1,1】

=【f[n-1], f[n-1]+f[n-2]+n+1,s[n-2]+f[n-1],n+1,1】

容易构造出A为：

０ １ ０ ０ ０ 
１ １ １ ０ ０ 
０ ０ １ ０ ０ 
０ １ ０ １ ０ 
０ １ ０ １ １

然后……问题解决。

我的推法：

，填空

为构造的矩阵。

陈宇于2012年7月15日