关于对快速幂超时问题的优化

      前天，在做13年山东省赛题目时，遇到一个快速幂取模的题目，当时直接用普通的快速幂做的，结果因为数据太大，TLE了。想了半天也不知道怎么搞，后来是看的别人的解题报告才弄出来，现在拿出来给大家分享一下，也顺便自己复习一下。

题目如下：

Problem C: A^X mod P

Time Limit: 5 Sec   Memory Limit: 128 MB
Submit: 406   Solved: 66
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Description

It's easy for ACMer to calculate A^X mod P. Now given seven integers n, A, K, a, b, m, P, and a function f(x) which defined as following.

f(x) = K, x = 1

f(x) = (a*f(x-1) + b)%m , x > 1

Now, Your task is to calculate

( A^(f(1)) + A^(f(2)) + A^(f(3)) + ...... + A^(f(n)) ) modular P. 

Input

In the first line there is an integer T (1 < T <= 40), which indicates the number of test cases, and then T test cases follow. A test case contains seven integers n, A, K, a, b, m, P in one line.

1 <= n <= 10^6

0 <= A, K, a, b <= 10^9

1 <= m, P <= 10^9

Output

For each case, the output format is “Case #c: ans”. 

c is the case number start from 1.

ans is the answer of this problem.

Sample Input

2
3 2 1 1 1 100 100
3 15 123 2 3 1000 107

Sample Output

Case #1: 14
Case #2: 63

题目大意就是先求出各个f[n]的值，然后用快速幂取模累加求值；

至于求f[n]的值，打表全部求出来就好了。而如果后面一步直接用快速幂取模（时间复杂度是O(logN)),因为。。。好吧，我也没分析出来为什么会超时---目前还是菜鸟一只；

不太会分析复杂度-----反正提交了几次就是超时了----后来一想，打表肯定超不了时。N不过10^6,那肯定是的快速幂有问题了，后来就在网上看到了他的优化方法---分块；

和分治法思想差不多，先把A的M次幂用快速幂求出来，令num = A ^ M,(M的值取一个大一点的数，这里我们取的是50000），然后用一个数组a[i]代表（A^M)^i，a[0] = num;

a[1] = num * a[0]........以此类推。再开一个数组b[i],令b[i] = A ^ i;所以有 A^f[n] ==  A(f[n] / M + f[n] % M) ==  a[f[n] / num] * b[f[n] % M].这样就达到了分块的目的，至于a[i] t与b[i]肯定是要开long long的，而且为了避免数据溢出，把取余运算加到里面就好了。

有关为什么效率会优化的问题现在不是太懂，以后弄懂了回来补充一下-----o(︶︿︶)o 唉，没办法，现在还是小白菜一颗，连快速幂的算法都是从网上粘帖的，不过相信以后

小白菜也会长大的，也希望那些现在正在ACM的 路上艰难前行的小白菜们，你们也要努力，炮灰总有崛起的一天，一起加油！！

具体代码如下所示：有点丑，不要介意~~文章若有问题，欢迎指出，谢谢阅读！

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

#define LL long long

using namespace std;

LL mem[1000001];

int n,A,K,a,b,m,P;

LL a5[50001];
LL a0[50001];

LL ksm(LL a,LL b)//快速幂函数，怕溢出，里面加了取余操作
{
    LL ans = 1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans = (ans * a)%P;
        a = a * a%P;
        b = b >> 1;
    }
    return ans;
}

LL digui(LL n)//递归打表，队友写的，但是我觉着没必要这么写，直接用循环就好了，到时候就直接使用数组的值，就不用调用函数了
{
    if(n==1)
    {
        return K;
    }
    if(mem[n]!=-1)
    {
        return mem[n];
    }
    else
    {
        return mem[n]=((a*digui(n-1))%m+b%m)%m;
    }
}

int main(void)
{
    int i,j,t;
    LL sum;
    scanf("%d",&t);
    j=0;
    while(t--)
    {
        memset(mem,-1,sizeof(mem));//数组初始化
        sum=0;
        scanf("%d%d%d%d%d%d%d",&n,&A,&K,&a,&b,&m,&P);
        LL num=ksm(A,50000);

        a5[0]=1;//用来存取（A^M)^i

        for(i=1; i<=50000; i++)//M取得50000
        {
            a5[i]= num%P*a5[i-1]%P;//利用了取余的乘法规则，防止溢出
        }

        a0[0]=1;//用来存取A^i
        for(i=1;i<=50000;i++)
        {
            a0[i]=(A % P * a0[i-1] % P) % P;//防止溢出取余
        }
        j++;

        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            LL temp=digui(i);
            sum+=(a5[temp/50000]*a0[temp%50000])%P;//累加
        }
        cout<<"Case #"<<j<<": "<< sum % P<<endl;
    }
    return 0;
}

好累。。。。但是，加油少年们！