母函数

母函数

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母函数

母函数Generating function详解

在数学中,某个序列的母函数是一种形式幂级数,其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法

母函数可分为很多种,包括普通母函数指数母函数L级数贝尔级数狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题,因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。

这里先给出两句话,不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看:

"把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来"

"母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来,把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系,最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. "

我们首先来看下这个多项式乘法:

母函数_第1张图片









由此可以看出:

1. x的系数是a1,a2,…an的单个组合的全体。

2. x2的系数是a1,a2,…an的两个组合的全体。

………

n. xn的系数是a1,a2,….ann个组合的全体(只有1个)。

由此得到:

 母函数_第2张图片

母函数的定义:

对于序列a0,a1,a2,…构造一函数:

称函数G(x)是序列a0,a1,a2,…的母函数

这里先给出2个例子,等会再结合题目分析:

第一种:

 

有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚,能称出哪几种重量?每种重量各有几种可能方案? 

考虑用母函数来接吻这个问题:

我们假设x表示砝码,x的指数表示砝码的重量,这样:

1个1克的砝码可以用函数1+x表示,

1个2克的砝码可以用函数1+x2表示,

1个3克的砝码可以用函数1+x3表示,

1个4克的砝码可以用函数1+x4表示,

上面这四个式子懂吗?

我们拿1+x2来说,前面已经说过,x表示砝码,x的指数表示重量,即这里就是一个质量为2的砝码,那么前面的1表示什么?1代表重量为2的砝码数量为0个。(理解!)

不知道大家理解没,我们这里结合前面那句话:

"把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来"

1+x2表示了两种情况:1表示质量为2的砝码取0个的情况,x2表示质量为2的砝码取1个的情况。

这里说下各项系数的意义:

在x前面的系数a表示相应质量的砝码取a个,而1就表示相应砝码取0个,这里可不能简单的认为相应砝码取0个就该是0*x2(想下为何?结合数学式子)

所以,前面说的那句话的意义大家可以理解了吧?

几种砝码的组合可以称重的情况,可以用以上几个函数的乘积表示:

(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)

=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)

=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10 

从上面的函数知道:可称出从1克到10克,系数便是方案数。(!!!经典!!!)

    例如右端有2x5 项,即称出5克的方案有2:5=3+2=4+1;同样,6=1+2+3=4+2;10=1+2+3+4。

    故称出6克的方案有2,称出10克的方案有1。

接着上面,接下来是第二种情况:

求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数:

大家把这种情况和第一种比较有何区别?第一种每种是一个,而这里每种是无限的。


以展开后的x4为例,其系数为4,即4拆分成1、2、3之和的拆分数为4;

即 :4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

这里再引出两个概念整数拆分和拆分数:

 

所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和(相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子,盒子允许空,也允许放多于一个球)。

整数拆分成若干整数的和,办法不一,不同拆分法的总数叫做拆分数

现在以上面的第二种情况每种种类个数无限为例,给出模板


[cpp]  view plain copy print ?
  1. #include<iostream>  
  2. usingnamespace std;  
  3.    
  4. constint _max = 10001;  
  5. //c1是保存各项质量砝码可以组合的数目  
  6. //c2是中间量,保存没一次的情况  
  7. intc1[_max], c2[_max];    
  8. intmain()  
  9. {   //int n,i,j,k;  
  10.     int nNum;  //  
  11.     int i, j, k;  
  12.    
  13.     while(cin >> nNum)  
  14.     {  
  15.        for(i=0; i<=nNum; ++i)   // ---- ① ,(1+x+x^2...)
  16.        {  
  17.            c1[i] = 1;  
  18.            c2[i] = 0;  
  19.        }  
  20.        for(i=2; i<=nNum; ++i)   // ----- ②  (第i个括号)
  21.        {  
  22.    
  23.            for(j=0; j<=nNum; ++j)   // ----- ③  (计算第i个括号与前面的乘积)
  24.               for(k=0; k+j<=nNum; k+=i)  // ---- ④  //大于nNum没有意义,即超过X^(nNum)没意义
  25.               {  
  26.                   c2[j+k] += c1[j];  
  27.               }  
  28.            for(j=0; j<=nNum; ++j)     // ---- ⑤  //把乘积保存下来,因为这是一个连乘
  29.            {  
  30.               c1[j] = c2[j];  
  31.               c2[j] = 0;  
  32.            }  
  33.        }  
  34.        cout << c1[nNum] << endl;  
  35.     }  
  36.     return 0;  
  37. }  
  38.    

跑了一个nNum = 4的结果:

母函数_第3张图片


当nNum = 4时,其实我们要计算这么一个多项式:

G(x)=(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+x^2+x^4)(1+x^3)(1+x^4)

i = 2时:计算了(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+x^2+x^4),并把结果存在C2中;

                乘法他这么做的:1*(1+x^2+x^4)+x*(1+x^2+x^4)+x^2*(1+x^2+x^4)...

                假如:(1+x^2)(1+x^2+x^4)=1*(1+x^2+x^4)+0*x*(1+x^2+x^4)+1*x^2*(1+x^2+x^4)   (就是没有系数也乘了,只不过乘以后的结果为0,累加的时候,加的0)

i = 3时:计算了(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+x^2+x^4)(1+x^3),并把结果存在C2中,当然(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+x^2+x^4)这个结果在i=2时已经算出来了;

i = 4时:就可以计算整个表达式的结果了。


我们来解释下上面标志的各个地方:

① 、首先对c1初始化,由第一个表达式(1+x+x2+..xn)初始化,把质量从0到n的所有砝码都初始化为1.

 

② 、 i从2到n遍历,这里i就是指第i个表达式,上面给出的第二种母函数关系式里,每一个括号括起来的就是一个表达式。

 

 

③、j 从0到n遍历,这里j就是只一个表达式里第j个变量,比如在第二个表达式里:(1+x2+x4....)里,第j个就是x2*j.

 

③ k表示的是第j个指数,所以k每次增i(因为第i个表达式的增量是i)。

 

④ 、把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0,因为c2每次是从一个表达式中开始的

 

咱们赶快趁热打铁,来几道题目:

(相应题目解析均在相应的代码里分析)

1.  题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028

代码:http://www.wutianqi.com/?p=587

这题大家看看简单不?把上面的模板理解了,这题就是小Case!

 

看看这题:

2.  题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398

代码:http://www.wutianqi.com/?p=590

要说和前一题的区别,就只需要改2个地方。 在i遍历表达式时(可以参考我的资料---《母函数详解》),把i<=nNum改成了i*i<=nNum,其次在k遍历指数时把k+=i变成了k+=i*i; Ok,说来说去还是套模板~~~

 

3.  题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085

代码:http://www.wutianqi.com/?p=592

这题终于变化了一点,但是万变不离其中。

大家好好分析下,结合代码就会懂了。

 

4.  题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1171

代码:http://www.wutianqi.com/?p=594

 

 

 

还有一些题目,大家有时间自己做做:

HDOJ:1709,1028、1709、1085、1171、1398、2069、2152

附:

1.在维基百科里讲到了普通母函數、指數母函數、L級數、貝爾級數和狄利克雷級數:

http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%AF%8D%E5%87%BD%E6%95%B0

2.Matrix67大牛那有篇文章:什么是生成函数:

http://www.matrix67.com/blog/archives/120

3.大家可以看看杭电的ACM课件的母函数那篇,我这里的图片以及一些内容都引至那。



4、将一个较大的钱,不超过1000000(10^6)的人民币,兑换成数量不限的100、50、10、5、2、1的组合,请问共有多少种组合呢?(完全背包)(其它选择题考的是有关:操作系统、树、概率题、最大生成树有关的题,另外听老梦说,谷歌不给人霸笔的机会。)。

第一种方法(母函数):

[cpp]  view plain copy
  1. #define NUM 7  
  2. int money[NUM] = {1, 2, 5, 10, 20, 50, 100};  
  3.   
  4. // 母函数解法  
  5. int NumOfCoins(int value)  
  6. {  
  7.     int i , j , k , c1[1010] , c2[1010];  
  8.     for(i = 0 ; i <= value ; ++i)  
  9.     {  
  10.         c1[i] = 1;  
  11.         c2[i] = 0;  
  12.     }  
  13.     //第一层循环是一共有 n 个小括号,而刚才已经算过一个了     
  14.     // i 就是代表的母函数中第几个大括号中的表达式   
  15.     for(i = 1 ; i < NUM ; ++i)  
  16.     {  
  17.         for(j = 0 ; j <= value ; ++j)   //j 就是指的已经计算出的各项的系数  
  18.         {  
  19.             for(k = 0 ; k+j <= value ; k += money[i])  //k 就是指将要计算的那个括号中的项  
  20.                 c2[k+j] += c1[j];  
  21.         }  
  22.         for(j = 0 ; j <= value ; ++j)  // 刷新一下数据,继续下一次计算,就是下一个括号里面的每一项  
  23.         {  
  24.             c1[j] = c2[j];  
  25.             c2[j] = 0;  
  26.         }  
  27.     }  
  28.     return c1[value];  
  29. }  

第二种方法(动态规划):
我们可以将它形式化为:

母函数_第4张图片

硬搜的话肯定是可以出结果的,但时间复杂度太高。
第一种方法:
设 F[n] 为用那么多种面值组成 n 的方法个数。则 F[n] 可以分成这样互不重复的几个部分:
只用 50 及以下的面值构成 [n] + 0 张 100
只用 50 及以下的面值构成 [n-100] + 1 张 100
只用 50 及以下的面值构成 [n-200] + 2 张 100
……
也就是说,按 F[n] 的组成方案中 100 的张数,将 F[n] 划分成若干等价类,等价类的划分要不重复、不遗漏。这些等价类恰好完整覆盖了 F[n] 的所有情况。
然后对于 50 及以下的方案又可以按 50 的张数划分等价类。于是像这样一层一层递归下去……就可以得到结果了。
把上面的递归过程反过来,从下往上递推,这就是动态规划了。代码(用到了一些 C99 特性,比如栈上的可变长数组):
时间复杂度 < O(N^2)

[cpp]  view plain copy
  1. #define NUM 7  
  2. int money[NUM] = {1, 2, 5, 10, 20, 50, 100};  
  3. // 动态规划解法  
  4. int NumOfCoins(int value)  
  5. {  
  6.     int i , j , t , dp[7][1010];  
  7.     for(i = 0 ; i <= value ; ++i)  //用第0张,即面值为1元的都只有一种
  8.         dp[0][i] = 1;  
  9.   
  10.     for(i = 1 ; i < NUM ; ++i)  
  11.     {  
  12.         for(j = 0 ; j <= value ; ++j)  
  13.         {  
  14.             t = j;  
  15.             dp[i][j] = 0;  
  16.             while(t >= 0)  
  17.             {  
  18.                 dp[i][j] += dp[i-1][t];  //这里必须是d[i-1][j],此时就不包含j
  19.                 t -= money[i];  //减一次表示用了一张money[i]
  20.             }  
  21.         }  
  22.     }  
  23.     return dp[6][value];  
  24. }  

其中 dp[i][j] 表示只用第 i 张面值及以下构成 j 用多少种方法。
改进如下:
a[6][n] = ar[6][n-100]     // 至少包含 1 张 100 的拆分个数
              + ar[5][n]         // 不包含 100 的拆分个数

直接把时间复杂度从 O(n^2) 降到了 O(n):

[cpp]  view plain copy
  1. #define NUM 7  
  2. int money[NUM] = {1, 2, 5, 10, 20, 50, 100};  
  3. // 动态规划解法(完全背包)  
  4. int NumOfCoins(int value)  
  5. {  
  6.     int i , j , dp[7][1010];  
  7.     for(i = 0 ; i <= value ; ++i)  //用第0张,即面值为1元的都只有一种
  8.         dp[0][i] = 1;  
  9.   
  10.     for(i = 1 ; i < NUM ; ++i)  
  11.     {  
  12.         for(j = 0 ; j <= value ; ++j)  
  13.         {  
  14.             if(j >= money[i])  //i表示当前的物品算进去;i-1表示当前的物品没有算进去
  15.                 dp[i][j] = dp[i][j - money[i]] + dp[i - 1][j];  
  16.             else  
  17.                 dp[i][j] = dp[i-1][j];  
  18.         }  
  19.     }  
  20.     return dp[6][value];  
  21. }  
或者使用滚动数组也是可以的
[cpp]  view plain copy
  1. #define NUM 7    
  2. int money[NUM] = {1, 2, 5, 10, 20, 50, 100};   
  3. int f[1010] , bf[1010];  
  4. // f[j] == f[i][j]   bf[j] == bf[i-1][j]  
  5. int NumofCoin2(int value)  
  6. {  
  7.     int i , j;  
  8.     for(j = 0 ; j <= value ; ++j)  
  9.         f[j] = 0 , bf[j] = 0;  
  10.     bf[0] = 1;  
  11.   
  12.     for(i = 0 ; i < NUM ; ++i)  
  13.     {  
  14.         for(j = 0 ; j <= value ; ++j)  
  15.         {  
  16.             if(j >= money[i])  
  17.                 f[j] = f[j-money[i]] + bf[j];  
  18.             else  
  19.                 f[j] = bf[j] ;  
  20.         }  
  21.   
  22.         for(j = 0; j <= value ; ++j)  
  23.             bf[j] = f[j] , f[j] = 0;  
  24.     }  
  25.     return bf[value];  
  26.   
  27. }  

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