排列与组合专项公式

1，错排公式

D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]

2，组合公式

C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1）

3，把n个相同的豆子放在k个不同的碗里，有几种放法。

假如xi代表第i个碗里有xi个豆子。

x1+x2+x3+....+xk=n;(xi>=0)

x1'+x2'+x3'+....+xk'=n+k(xi'=xi+1,xi>=1)

这就相当于把长度为n+k的木棍分成k份，有多少种分法。

n+k的木棍有n+k-1个切割点，从中选取看k-1个分割点。

则，结果为C(n+k-1,k-1);

数学：

1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

1²+2²+。。。+n²=n（n+1)（2n+1）/6.

平均抛掷 2^(n+1) - 2 次硬币才会出现 n 连正的情况。

 /*
     求解模方程a^x=b(mod n)，n不为素数。拓展Baby Step Giant Step
     模板题。

     方法：
     初始d=1,c=0,i=0;
     1.令g=gcd(a,n),若g==1则执行下一步。否则由于a^x=k*n+b;(k为某一整数),则(a/g)*a^k=k*(n/g)+b/g,(b/g为整除，若不成立则无解)
 令n=n/g，d=d*a/g，b=b/g,c++则d*a^(x-c)=b(mod n),接着重复1步骤。
     2.通过1步骤后，保证了a和d都与n互质，方程转换为d*a^(x-c)=b(mod n)。由于a和n互质，所以由欧拉定理a^phi(n)==1(mod n),(a,n互质)
 可知，phi(n)<=n,a^0==1(mod n),所以构成循环，且循环节不大于n。从而推出如果存在解，则必定1<=x<n。(在此基础上我们就可以用
 Baby Step Giant Step方法了)
     3.令m=ceil(sqrt(n)),则m*m>=n。用哈希表存储a^0,a^1,..,a^(m-1)，接着判断1~m*m-1中是否存在解。
     4.为了减少时间，所以用哈希表缩减复杂度。分成m次遍历，每次遍历a^m长度。由于a和d都与n互质，所以gcd(d,n)=1，
 所以用拓展的欧几里德定理求得d*x+n*y=gcd(d,n)=1,的一组整数解(x,y)。则d*x+n*y=1-->d*x%n=(d*x+n*y)%n=1-->d*(x*b)%n=((d*x)%n*b%n)%n=b。
 所以若x*b在哈希表中存在，值为k，则a^k*d=b(mod n),答案就是ans=k+c+i*m。如果不存在，则令d=d*a^m,i++后遍历下一个a^m，直到遍历a^0到a^(m-1)还未找到，则说明不解并退出。

 */

给出一个N，求1..N中与N互质的数的和：ans=N*phi(N)/2

分拆数：

n的分拆数中最大部分为m的个数=把n分拆成m部分的个数。