BNU 背包密码（编码与解密）

背包密码

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Memory Limit: 65536KB

64-bit integer IO format: %lld      Java class name: Main

Submit Status PID: 29141

 

           背包密码系统是一种非常经典的公钥密码系统，这种密码系统加密过程如下：

1. 选取一个长度为n的正整数超递增序列a[i]，满足a[1]<a[2]，a[1]+a[2]<a[3]，……，a[1]+a[2]+…+a[n-1]<a[n]。
2. 选取正整数m>2*a[n]，w和m互质，v是w模m的逆，即(v*w)%m=1。b[i]=(w*a[i])%m。
3. 加密时，对一段长为n的二进制串x[i]。有S= (b[1]*x[1]+b[2]*x[2]+…+b[n]*x[n]%m。

这种密码，告诉你b[i]就可以进行加密。但是仅有b[i]很难进行解密，因为需要求解一个普通的01背包问题 。只有再告诉你v和m，解密就会变得很简单，现在告诉你b[i]、v和m以及S，请你帮忙进行解密。

Input

正整数T(T<100)，代表数据组数。每组数据格式如下：

第一行正整数n(1<=n<=32)代表二进制串的长度

第二行n个正整数b[1]到b[n]

第三行三个整数，v和m以及S。

(保证所有输入都在10^9以内，提示：中间过程可能会用到long long)

Output

对每组数据输出一行，解密得到的二进制串x[i]

Sample Input

2
3
3 6 1
4 11 4
4
1 18 20 24
2 33 5

Sample Output

101
0110
思路：好题。
已知：
1.v*w%m=1
2.b[i]=(w*a[i])%m a[i]为递增数列
3.S= (b[1]*x[1]+b[2]*x[2]+…+b[n]*x[n]%m 求x[i]
解：
由2、3得：
4.S= ((w*a[1])%m*x[1]+(w*a[2])%m*x[2]+…+(w*a[n])%m*x[n])%m
4左右同乘以 v%m
 S*v%m = v%m*((w*a[1])%m*x[1]+(w*a[2])%m*x[2]+…+(w*a[n])%m*x[n])%m
5.S*v%m =a[1]%m*x[1]+...+a[n]%m*x[n]
由1、2得：
b[i]*v%m=(w*a[i])%m*v%m
6.a[i]%m=b[i]*v%m
由5、6得：
S*v%m =b[1]*v%m*x[1]+...+b[i]*v%m*x[n] 
x[i]为01所组成的编码
即时如 5=1*x[1]+2*x[2]+4*x[3]（第一组样例推到来的） a[i]为递增数列 所以得优先从后往前考虑
如果s》=b[i]*v%m x[i]=1 s-=b[i]*v%m;
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        LL n;
        scanf("%lld",&n);
        LL b[1005];
        for(int i=0;i<n;i++)
            scanf("%lld",&b[i]);
        LL v,m,s;
        scanf("%lld%lld%lld",&v,&m,&s);
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            b[i]=b[i]*v%m;
        }
        s=s*v%m;
//        printf("s:%lld\n",s);
//        for(int i=0;i<n;i++)
//            printf("%lld ",b[i]);
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            if(s>=b[n-i-1])
            {
                s-=b[n-i-1];
                b[n-i-1]=1;
            }
            else
                b[n-i-1]=0;
        }
        for(int i=0;i<n;i++)
            printf("%lld",b[i]);
        printf("\n");
    }
}