BNU 背包密码(编码与解密)

背包密码

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64-bit integer IO format: %lld      Java class name: Main
Submit Status PID: 29141

 

           背包密码系统是一种非常经典的公钥密码系统,这种密码系统加密过程如下:

  1. 选取一个长度为n的正整数超递增序列a[i],满足a[1]<a[2],a[1]+a[2]<a[3],……,a[1]+a[2]+…+a[n-1]<a[n]。
  2. 选取正整数m>2*a[n],w和m互质,v是w模m的逆,即(v*w)%m=1。b[i]=(w*a[i])%m。
  3. 加密时,对一段长为n的二进制串x[i]。有S= (b[1]*x[1]+b[2]*x[2]+…+b[n]*x[n]%m。

这种密码,告诉你b[i]就可以进行加密。但是仅有b[i]很难进行解密,因为需要求解一个普通的01背包问题 。只有再告诉你v和m,解密就会变得很简单,现在告诉你b[i]、v和m以及S,请你帮忙进行解密。

Input

正整数T(T<100),代表数据组数。每组数据格式如下:

第一行正整数n(1<=n<=32)代表二进制串的长度

第二行n个正整数b[1]到b[n]

第三行三个整数,v和m以及S。

(保证所有输入都在10^9以内,提示:中间过程可能会用到long long)

Output

对每组数据输出一行,解密得到的二进制串x[i]

Sample Input

2
3
3 6 1
4 11 4
4
1 18 20 24
2 33 5

Sample Output

101

0110

思路:好题。

已知:

1.v*w%m=1

2.b[i]=(w*a[i])%m a[i]为递增数列

3.S= (b[1]*x[1]+b[2]*x[2]+…+b[n]*x[n]%m 求x[i]

解:

由2、3得:

4.S= ((w*a[1])%m*x[1]+(w*a[2])%m*x[2]+…+(w*a[n])%m*x[n])%m

4左右同乘以 v%m

S*v%m = v%m*((w*a[1])%m*x[1]+(w*a[2])%m*x[2]+…+(w*a[n])%m*x[n])%m

5.S*v%m =a[1]%m*x[1]+...+a[n]%m*x[n]

由1、2得:

b[i]*v%m=(w*a[i])%m*v%m

6.a[i]%m=b[i]*v%m

由5、6得:

S*v%m =b[1]*v%m*x[1]+...+b[i]*v%m*x[n]

x[i]为01所组成的编码

即时如 5=1*x[1]+2*x[2]+4*x[3](第一组样例推到来的) a[i]为递增数列 所以得优先从后往前考虑

如果s》=b[i]*v%m x[i]=1 s-=b[i]*v%m;

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        LL n;
        scanf("%lld",&n);
        LL b[1005];
        for(int i=0;i<n;i++)
            scanf("%lld",&b[i]);
        LL v,m,s;
        scanf("%lld%lld%lld",&v,&m,&s);
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            b[i]=b[i]*v%m;
        }
        s=s*v%m;
//        printf("s:%lld\n",s);
//        for(int i=0;i<n;i++)
//            printf("%lld ",b[i]);
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            if(s>=b[n-i-1])
            {
                s-=b[n-i-1];
                b[n-i-1]=1;
            }
            else
                b[n-i-1]=0;
        }
        for(int i=0;i<n;i++)
            printf("%lld",b[i]);
        printf("\n");
    }
}


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