[BZOJ 1563][NOI 2009]诗人小G(四边形优化DP)

题目链接

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1563

思路

定义每行的标准长度为 limit ，设 f[i]=前i句诗的最小代价，则f[i]=min{f[j]+(∑ik=j+1lenk+i−j−1−limit)p}
后面的一坨东西不重要，我们可以简写为w[j+1,i]=(∑ik=j+1lenk+i−j−1−limit)p
那么f[i]=min{f[j]+w[j+1,i]},注意这就是 1D1D优化的DP的标准形式。
关注DP的决策过程，DP到第i位时，我们把被f[i]拿来当决策更新过的f[j] ( i<j<=n )都标记为i，如下图

我们可以用一个双头队列来维护当前被f[i]拿来当决策更新过的f[j]，队列中的每个元素保存它dp到第i位时，我们就取

代码

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>

#define MAXN 120000
#define MAXANS 1e18

using namespace std;

typedef long double LF;
typedef long long int LL;

char s[100];
LF f[MAXN],sum[MAXN];
int limit,p;
int n,len[MAXN]; //sum[i]=前i句诗词的长度之和，len[i]=第i句诗词的长度

struct Node
{
    int L,R,id;
    Node(){}
    Node(int _L,int _R,int _id):L(_L),R(_R),id(_id){} //当前DP的决策区间是[L,R],这部分区间是用f[id]更新的
}q[MAXN];

void init()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&limit,&p);
    sum[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%s",s);
        len[i]=strlen(s);
        sum[i]=sum[i-1]+len[i];
    }
}

LF pow(LF a) //求a^p
{
    if(a<0) a=-a;
    LF ans=1;
    for(int i=1;i<=p;i++) ans*=a;
    return ans;
}

LF calc(int i,int j) //用j处的f值去更新f[i]
{
    return f[j]+pow(sum[i]-sum[j]+i-j-1-limit);
}

void solve() //DP过程
{
    int head=0,tail=0;
    q[0]=Node(1,n,0);
    for(int i=1;i<=n;i++) //DP到第i位，求出第i位的f值
    {
        while(i>q[head].R) head++; //让第i位包含在队首的决策区间里
        f[i]=calc(i,q[head].id); //用队首被更新的f[id]去更新f[i]
        if(calc(n,i)>calc(n,q[tail].id)) continue; //如果用队尾的被拿来更新的f[id]去更新f[n]比用f[i]更新f[n]好，就跳过后面更新决策区间的过程
        while(i<q[tail].L&&calc(q[tail].L,i)<calc(q[tail].L,q[tail].id)) tail--;
        int lowerBound=max(q[tail].L,i+1); //i能拿来更新[i+1,n]的决策，那么我们要找出二分转折点的下界，就是最新的决策区间左端点与i+1的最大值
        int upperBound=q[tail].R; //上界是最新的决策区间的右端点
        int ans=min(n,q[tail].R+1); //ans是二分出的转折点的位置
        while(lowerBound<=upperBound)
        {
            int mid=(lowerBound+upperBound)>>1;
            if(calc(mid,i)<calc(mid,q[tail].id))
            {
                upperBound=mid-1;
                ans=mid;
            }
            else lowerBound=mid+1;
        }
        q[tail].R=ans-1; //更新原来的决策区间的右端点
        q[++tail]=Node(ans,n,i); //加入第i位的决策区间
    }
    if(f[n]>MAXANS)
        puts("Too hard to arrange");
    else
        printf("%lld\n",(LL)f[n]);
    puts("--------------------");
}

int main()
{
    int TestCase;
    scanf("%d",&TestCase);
    while(TestCase--)
    {
        init();
        solve();
    }
    return 0;
}