欧几里德算法（最大公约数算法）

1.欧几里德算法的思想：

欧几里德算法的思想基于辗转相除法的原理，辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，欧几里德算法说白了其实就是辗转相除法的计算机算法的实现而已。下面我们先说说辗转相除法，辗转相除法的内容：如果用gcd(a,b)来表示a和b的最大公约数，那么根据辗转相除法的原理，有gcd(a,b)=gcd(a,a mod (b))，其中mod()表示模运算，并且不妨让a>b,这样方便于模运算。

 

2.辗转相除法的正确性gcd(a,b)=gcd(a,a mod (b))的证明：

第一步：令c为a和b的最大公约数，数学符号表示为c=gcd(a,b).因为任何两个实数的最大公约数c一定是存在的，也就是说必然存在两个数k1,k2使得a=k1.c, b=k2.c

第二步：a mod (b)等价于存在整数r,k3使得余数r=a – k3.b.

             即r = a – k3.b

            = k1.c – k3.k2.c

            = (k1 – k3.k2).c

        显然，a和b的余数r是最大公因数c的倍数！

 

3.欧几里德算法的优点：

通过模运算的余数是最大公约数之间存在的整数倍的关系，来给比较大的数字进行降维，方便手算；同时，也避免了在可行区间内进行全局的最大公约数的判断测试，只需要选取其余数进行相应的计算就可以直接得到最大公约数，大大提高了运算效率。

 

 

4.欧几里德算法流程图：

5.欧几里德算法的C语言实现：

//功能：利用欧几里德算法，求整数a，b的最大公约数

//参数：整数a，b

//返回：a,b的最大公约数

int gcd(int a, int b){

         if(a < b){   //保证a大于等于b，便于a%b的运算

                   int temp;

                   temp = a;

                   a = b;

                   b = temp;

         }

         while(a % b){    //如果余数不为0，就一直进行辗转相除

             int r = a % b;     //r为a和b的余数，即r = a mod(b);

                   a = b;

                   b = r;

                   r = a % b;

         }

         return b;

}

 

//测试函数

#include

int main(){

         printf << gcd(4,12) << endl;

}

 

 

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