dp-整数划分问题（理论分析）

原文地址：http://www.cnblogs.com/wanghetao/archive/2013/11/25/3442192.html

描述

整数划分是一个经典的问题。请写一个程序,完成以下要求。

 

 

输入

每组输入是两个整数n和k。(1 <= n <= 50, 1 <= k <= n)

输出

对于输入的 n,k;
第一行： 将n划分成若干正整数之和的划分数。
第二行： 将n划分成k个正整数之和的划分数。
第三行： 将n划分成最大数不超过k的划分数。
第四行： 将n划分成若干个 奇正整数之和的划分数。
第五行： 将n划分成若干不同整数之和的划分数。
第六行： 打印一个空行

样例输入

5 2

样例输出

7
2
3
3
3

提示

样例输出提示:
1.将5划分成若干正整数之和的划分为： 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1
2.将5划分成2个正整数之和的划分为： 3+2, 4+1
3.将5划分成最大数不超过2的划分为： 1+1+1+1+1, 1+1+1+2, 1+2+2
4.将5划分成若干 奇正整数之和的划分为： 5, 1+1+3, 1+1+1+1+1
5.将5划分成若干不同整数之和的划分为： 5, 1+4, 2+3

本题使用动态规划（Dynamic Programming）方法解决

一 求将n划分为若干正整数之和的划分数

 

1. 若划分的多个整数可以相同

　　设dp[i][j]为将i划分为不大于j的划分数

　　(1) 当i<j 时，i不能划分为大于i的数，所以dp[i][j]=dp[i][i]；

　　(2) 当i>j 时，可以根据划分中是否含有j分为两种情况。若划分中含有j，划分方案数为dp[i-j][j]；若划分数中不含j，相当于将i划分为不大于j-1的划分数，为dp[i][j-1]。所以当i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1]；

　　(3) 当i=j 时，若划分中含有j只有一种情况，若划分中不含j相当于将i划分为不大于j-1的划分数。此时dp[i][j]=1+dp[i][j-1]。

dp[n][n]可以解决问题1，dp[n][k]表示将n划分为最大数不超过k的划分数，可以解决问题3。

2. 若划分的正整数必须不同

　　设dp[i][j]为将i划分为不超过j的不同整数的划分数

　　(1) 当i<j时，i不能划分为大于i的数，所以dp[i][j]=dp[i][i]；

　　(2) 当i>j时，可以根据划分中是否含有j分为两种情况。若划分中含有j，则其余的划分中最大只能是j-1，方案数为dp[i-j][j-1]；若划分中不含j，相当于将i划分为不大于j-1的划分数，为dp[i][j-1]。所以当i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j-1]+dp[i][j-1]；

　　(3) 当i=j时，若划分中含有j只有一种情况，若划分中不含j相当于将i划分为不大于j-1的划分数。此时dp[i][j]=1+dp[i][j-1]

dp[n][n]表示将n划分为不同整数的划分数，可以解决问题5.

 

二 将n划分为k个整数的划分数

设dp[i][j]为将i划分为j个整数的划分数。

　　(1) i<j为不可能出现的情况，dp[i][j]=0；

　　(2) 若i=j，有一种情况：i可以划分为i个1之和，dp[i][j]=1；

　　(3) 若i>j，可以根据划分数中是否含有1分为两类：若划分数中含有1，可以使用“截边法”将j个划分分别截去一个1，把问题转化为i-j的j-1个划分数，为dp[i-j][j-1]； 若划分中不包含1，使用“截边法”将j个划分数的最下面一个数截去，将为题转化为求i-j的j个划分数，为dp[i-j][j]。所以i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j-1]+dp[i-j][j]。

dp[n][k]为将n划分为k个整数的划分数，可解决问题2。

 

三 将n划分为若干正奇数之和的划分数

 

设f[i][j]为将i划分为j个奇数之和的划分数，g[i][j]为将i划分为j个偶数之和的划分数。

使用截边法，将g[i][j]的j个划分都去掉1，可以得到f[i-j][j]，所以

g[i][j] = f[i-j][j]。

f[i][j]中有包含1的划分方案和不包含1的划分方案。对于包含1的划分方案，可以将1的划分除去，转化为“将i-1划分为j-1个奇数之和的划分数”，即f[i-1][j-1]；对于不包含1的划分方案，可以使用截边法对j个划分每一个都去掉一个1，转化为“将i-j划分为j个偶数之和的划分数”，即g[i-j][j]。

所以f[i][j]=f[i-1][j-1]+g[i-j][j]。

f[n][0]+f[n][1]+……+f[n][n]为将n划分为若干奇数的划分数，为问题4的答案。

 

参考: [1]  http://blog.csdn.net/a83610312/article/details/12685653

         [2]  http://www.cnblogs.com/jackge/p/3163835.html

 

实现代码:

网上关于本题的实现代码都是C语言写的, 而且有过多的计算. 本来根据用户的输入规模n, 直接计算n*n的矩阵就可以了, 但是网上的代码计算的是N*N, N是个预设的值, 而且比n大很多, 这样就影响了程序的速度.