最短路径之Dijkstra算法
Dijkstra（迪杰斯特拉）算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止（BFS、prime算法都有类似思想）。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
1、算法思想
令G = （V，E）为一个带权有向网，把图中的顶点集合V分成两组：已求出最短路径的顶点集合S（初始时S中只有源节点，以后每求得一条最短路径，就将它对应的顶点加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中）；未确定最短路径的顶点集合V-S。在加入过程中，总保持从源节点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源节点v到V-S中任何顶点的最短路径长度。2、算法描述
（1）S为已经找到的从v出发的最短路径的终点集合，它的初始状态为空集，那么从v出发到图中其余各顶点（终点）vi（vi∈V-S）可能达到的最短路径长度的初值为：
d[i] = arcs[LocateVex(G, v)][i]，vi∈V
（2）选择vj，使得 d[j] = Min{d[i]|vi属于V-S}，vj就是当前求得的一条从v出发的最短路径的终点。令S=S∪{j}；
（3）修改从v出发到集合V-S上任一顶点vk可达的最短路径长度。如果 d[j] + arcs[j][k] < d[k]， 则修改d[k]为：d[k] = d[j] + arcs[j][k]；
（4）重复（2），知道所有顶点都包含在S中，此时得到v到图上其余各顶点的最短路径是依路径长度递增的序列。
具体图例与算法执行步骤：（从A开始，到各节点的最短路径）
具体执行步骤如下图所示：
PS：图片右下角是原作者的博客地址。
3、算法具体实现
typedef int PathMatrix; //用于存储最短路径序列的顶点下标数组 typedef EdgeType ShortPathTable; //用于存储到各点最短路径的权值和
/* Dijkstra算法求有向网g的下标为v0的顶点到其余顶点下标为v的最短路径P[v]及带权长度D[v] */
/* P[v]的值为前驱顶点下标,D[v]表示v0到v的最短路径长度和 */
void ShortestPath_DIJ(Graph *g, int v0, PathMatrix p[], ShortPathTable d[])
{
int i, v, w, k;
EdgeType min;
bool final[MAX_VEX]; /* final[w]=1表示求得顶点V0至Vw的最短路径 */
//初始化数据
for (v = 0; v < g->vexNum; v++)
{
final[v] = false; //全部顶点初始化为未知最短路径状态
d[v] = g->arc[v0][v]; //将与v0点有连线的顶点加上权值
p[v] = v0; //初始化路径数组P为v0
}
d[v0] = 0; //v0至v0的路径为0
final[v0] = true; //v0∈S, v0至v0不需要求路径
//开始主循环，每次求得v0到某个v顶点的最短路径,并 加入v到集合S
for (i = 0; i < g->vexNum; i++)
{
if (i == v0) continue;
min = INFINITY;
for (w = 0; w < g->vexNum; w++) //寻找V-S中离v0最近的顶点
{
if (!final[w] && d[w] < min)
{
min = d[w]; //下标为w的顶点离v0更近
v = w;
}
}
//if (v == t) break; //如果只查找到下标为t的某个顶点
final[v] = true; //下标为k的顶点并入集合S,即将当前找到了最短路径的顶点标记为true
//更新当前最短路径及距离
for (w = 0; w < g->vexNum; w++)
{
//如果经过v顶点的路径比现在这条路径的长度短的话
if (!final[w] && (min + g->arc[v][w] < d[w]))
{
//说明找到了更短的路径，修改D[w]和P[w]
d[w] = min + g->arc[v][w];
p[w] = v;
}
}
}
}
下面是根据路径数组PathMatrix得到具体的路径序列：
// 查找从源点v到终点u的路径,并输出
void SearchPath(VertexType vex[], PathMatrix *prev,int v, int u)
{
int que[MAX_VEX];
int tot = 0;
que[tot++] = u; //终点u
int tmp = prev[u]; //到顶点下标u的路径上的上一个顶点下标
while(tmp != v)
{
que[tot++] = tmp;
tmp = prev[tmp]; //到顶点下标tmp的路径上的上一个顶点下标
}
que[tot] = v;
for(int i = tot; i >= 0; --i)
if(i != 0)
printf("%c -> ", vex[que[i]]);
else
printf("%c", vex[que[i]]);
}
以上面的无向网为例，运行结果截图：
dijkstra算法两个应用题：
HDOJ 1874 畅通工程续，现有解法：www.wutianqi.com/?p=1894
HDOJ 2544 最短路，现有解法：www.wutianqi.com/?p=1892
参考：http://hi.baidu.com/zealot886/item/c8a499ee5795bcddeb34c950
数据结构（C语言版）
http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html
推荐几篇搜索算法相关的非常好的博文：
一、A*搜索算法
一（续）、A*，Dijkstra，BFS算法性能比较及A*算法的应用
二、Dijkstra 算法初探 （Dijkstra算法系列4篇文章）
二（续）、彻底理解Dijkstra算法
二（再续）、Dijkstra 算法+fibonacci堆的逐步c实现
二（三续）、Dijkstra 算法+Heap堆的完整c实现源码