模 n 剩余类

 

一,定义:

在一个集合 A 里,固定 n(n 可以是任何形式)

,规定 A 元间的一个关系 R,

aRb,当而且只当 n|a-b 的时候

这里,符号 n|a-b 表示 n 能整除 a-b。这显然是一个等价关系。这个等价关系普通叫做模

n 的同余关系,并且用

a ≡ b(n)

来表示(读成 a 同余 b 模 n)

。

这个等价关系决定了 A 的一个分类。这样得来的类叫做模 n 的剩余类。

二,我们规定 A 的一个代数运算,叫做加法,并用普通表示加法的符号来表示。我们用[a]

来表示 a 所在的剩余类。规定:

[a]+[b]=[a+b];

[0]+[a]=[a];

[-a]+[a]=[0];

根据群的定义我们知道,对于这个加法来说,A 作成一个群。叫做模 n 剩余类加群。

这样得到的剩余类加群是循环群,并且[1]是其生成元,[0]是其单位元。

三,我们再规定 A 的另一个代数运算,叫做乘法,并且规定:

[a][b]=[ab];

根据环的定义我们知道,对于加法和乘法来说,A 作成一个环。叫做模 n 剩余类环。