整数的拆分

    整数划分问题是算法中的一个经典命题之一，有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都涉及到。

    所谓整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：

    n=m1+m2+m3+....+mi;（其中mi为正整数，并且1<=mi<=n），则{m1,m2,m3,....,mi}为n的一个划分。

    如果{m1,m2,m3,....,mi}中的最大值不超过m，即max{m1,m2,m3,....,mi} <= m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m)；

    例如当n=4时，它有5个划分：{4}、{3,1}、{2,2}、{2,1,1}、{1,1,1,1}；

    注意：4=1+3和4=3+1被认为是同一个划分。

    该问题是求出n的所有划分个数，即f(n,n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法。

（一）方法一——递归法

    根据n和m的关系，考虑下面几种情况：

    （1）当n=1时，不论m的值为多少（m>0），只有一种划分，即{1}；

    （2）当m=1时，不论n的值为多少（n>0），只有一种划分，即{1,1,....1,1,1}；

    （3）当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

        （a）划分中包含n的情况，只有一个，即{n}；

        （b）划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有（n-1）划分；

        因此，f(n,n) = 1 + f(n, n - 1)。

    （4）当n

    （5）当n>m时，根据划分中是否包含m，可以分为两种情况：

        （a）划分中包含m的情况，即{m,{x1,x2,x3,...,xi}}，其中{x1,x2,x3,...,xi}的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分个数为f(n-m, m)；

        （b）划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的（m-1）划分，个数为f(n, m - 1)；

        因此，f(n,m) = f(n - m,m) + f(n, m - 1)。

    综合以上各种情况，可以看出，上面的结论具有递归定义的特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，而情况（5）为通用情况，属于递归的方法，其本质主要是通过减少n或m以达到回归条件，从而解决问题。

    其递归表达式如下所示。

    

    

（二）方法二——母函数

    下面我们从另一个角度，即“母函数”的角度来考虑这个问题。

    所谓母函数，即为关于x的一个多项式G(x)：

    有G(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ......

    则我们称G(x)为序列(a0, a1, a2,.....)的母函数。关于母函数的思路我们不做更过分析。

    我们从整数划分考虑，假设n的某个划分中，1的出现个数记为a1，2的个数记为a2，.....，i的个数记为ai，

    显然有：ak <= n/k（0<= k <=n）

    因此n的划分数f(n,n)，也就是从1到n这n个数字抽取这样的组合，每个数字理论上可以无限重复出现，即个数随意，使它们的综合为n。显然，数字i可以有如下可能，出现0次（即不出现），1次，2次，......，k次等等。把数字i用（x^i）表示，出现k次的数字i用（x^(i*k)）表示，不出现用1表示。

    例如，数字2用x^2表示，2个2用x^4表示，3个2用x^6表示，k个2用x^2k表示。

    则对于从1到N的所有可能组合结果我们可以表示为：

    G(x) = ( 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n)*(1 + x^2 + x^4 + x^6 + ....)....(1 + x^n)

            = g(x,1)*g(x,2)*g(x,3)*....*g(x,n)

            = a0 + a1*x + a2*x^2 +...+ an*x^n + ....//展开式

    上面的表达式中，每个括号内的多项式代表了数字i的参与到划分中的所有可能情况。因此，该多项式展开后，由于x^a *x^b = x^(a+b)，因此x^i就代表了i的划分，展开后（x^i）项的系数也就是i的所有划分个数，即f(n,n) = an。

    由此我们找到了关于整数划分的母函数G(x)；剩下的问题就是，我们需要求出G(x)的展开后的所有系数。

    为此，我们首先要做多项式乘法，对于我们来说，并不困难。我们把一个关于x的多项式用一个整数数组a[]表示，a[i]代表x^i的系数，即：

    g(x) = a[0] + a[1]x + a[2]x^2 + ... + a[n]x^n;

    则关于多项式乘法的代码如下，其中数组a和数组b表示两个要相乘的多项式，结果存储到数组c中。

（三）代码实现

   

#include<bits/stdc++.h>//整数划分问题
using namespace std;
int DFS(int n,int m)
{
    if(n<1||m<1)
        return 0;
    if(n==1||m==1)
        return 1;
    if(n<m)
        return DFS(n,n);
    if(n==m)
        return DFS(n,m-1)+1;
    return DFS(n,m-1)+DFS(n-m,m);
}
int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        printf("%d\n",DFS(n,n));
    }
}

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

#define DEBUG
//递归法求解整数划分
unsigned long GetPartitionCount(int n, int max)
{
    if(n == 1  || max == 1)
    {
        return 1;
    }
    if(n < max)
    {
        return GetPartitionCount(n, n);
    }
    if(n == max)
    {
        return 1 + GetPartitionCount(n, n - 1);
    }
    else
    {
        return GetPartitionCount(n  - max, max) + GetPartitionCount(n, max - 1);
    }
}


//母函数法求整数划分

#define MAXNUM 100            //最高次数
unsigned long a[MAXNUM];
unsigned long b[MAXNUM];
unsigned long c[MAXNUM];    //保存结果

//两个多项式进行乘法，系数分别保存在a和b中，结果保存到c，项的最大次数到MAXNUM
void Poly()
{
    int i;
    int j;
    memset(c, 0, sizeof(c));
    for(i = 0; i  < MAXNUM; i++)
    {
        for(j = 0; j  < MAXNUM - i; j++)    //j < MAXNUM - i,确保i+j不越界
        {
            c[i  + j] += a[i] * b[j];
        }
    }
}
//计算前N项的系数，即g(x,1)*g(x,2)*....*g(x,n)的展开结果
void Init(int m)
{
    int i;
    int j;
    memset(a, 0, sizeof(a));
    memset(c, 0, sizeof(c));
    //第一个多项式:g(x) = x^0 + x^1 + x^2 +  ...  + x^n
    for(i = 0; i  < MAXNUM; i++)
    {
        a[i] = 1;
    }
    //for(j = 2; j  <= MAXNUM; j++)//只能求f(n,n)
    //通过修改这里，使得可以求f(n,m)，对于任意的正整数n,m都适合
    for(j = 2; j  <= m; j++)
    {
        memset(b, 0, sizeof(b));
        //第i个多项式:g(x) = x^0 + x^i + x^(2k) + ...
        for(i = 0; i  <= MAXNUM; i += j)
        {
            b[i] = 1;
        }
        //多项式相乘:c = a * b
        Poly();
        //将结果c保存到a中
        memcpy(a, c, sizeof(c));
    }
}

//母函数方法得出整数划分相应的划分数目
//n:整数
//m:划分方法
void CalPrint(int n, int m)
{
    if(n < m)
    {
        Init(n);
        //由于n小于m，此时按n == m打印
        printf("由于n小于m，所有(%d,%d) = (%d,%d) = %ldn", n, m, n, n, c[n]);
    }
    else
    {

        Init(m);
        printf("整数划分(%d,%d)方法数目f(%d,%d) = %ldn", n, m, n, m, c[n]);
    }
}

int main(int argc, char **argv)
{
    int n;
    int m;
    unsigned long count;
    printf("请输入要划分的整数:n");
    scanf("%d", &n);
    printf("请输入划分数:n");
    scanf("%d", &m);
    if(n <= 0)
    {
        fprintf(stderr, "输入的整数不能为非正数.n");
        return -1;
    }
    if(m <= 0)
    {
        fprintf(stderr, "输入的划分数不能为非正数.n");
        return -1;
    }
    count = GetPartitionCount(n, m);

    printf("方法一：递归法n");
    printf("整数划分（%d,%d)的方法数为：%dnn", n, m, count);

    printf("方法二：母函数法n");
    CalPrint(n,m);

    #ifdef DEBUG
    int i = 0;
    for( i = 0; i  < MAXNUM; i++)
    {
        printf("%9ld ", c[i]);
        if((i + 1)  % 10 == 0)
        {
            printf("n");
        }
    }
    printf("n");
    #endif
    return 0;
}

     测试结果：