集成学习：AdaBoost

集成学习

集成学习通过构建并合并多个学习器来完成学习任务，有时也被称为多分类器系统。
如果在集成学习中我们使用的学习器只包括同种类型的个体学习器，如“决策树集成”中全是决策树，这种集成叫同质集成，这里面的个体学习器称之为“基学习器”，相应的学习算法称之为“基学习算法”，反之称为“异质集成”，个体学习器称为“组件学习器”。

集成学习的结果通过投票法产生，即“少数服从多数”。
对个体学习器的要求：

• 准确性：个体学习器应该有一定的准确性。
• 多样性：个体学习器间应该具有差异性。

集成学习大致可以分为两类：

• 个体学习器间存在强依赖关系，必须串行生成序列化的方法，如Boosting。
• 个体学习器间不存在强依赖关系，可同时生成的并行化方法，如Bagging，和随机森林。

AdaBoost

Boosting是一族可以将弱学习器提升为强学习器的算法,AdaBoost（adaptive boosting自适应增强）是Boost一族的典型代表。

AdaBoost算法流程

训练集 T={(x1,y1),(x2,y2)…(xN,yN)} ,其中 xi∈Rn , yi∈{−1,1} ,使用 M 个弱学习器。

• 步骤一：
  初始化训练数据的权值分布，一开始每一个样本赋予相同的权值 1N
  
  D1=(w11,w1,2,...,w1N),w1i=1N,i=1,2,...,N

• 步骤二：
  进行多轮的迭代学习，使用具有权值分布的 Dm 的训练数据集来学习，得到基本分类器。分对的样本的权值会降低，分错的样本的权值会增加，目的是使分错的训练样本得到更多的关注。每个学习器都会有一个权值 am , am 的值是基于每个弱分类器的错误率 ϵm 进行计算的。
  

  ϵ=未正确分类的样本数目所有样本数目
  
  
  ϵm=P(Gm(xi)≠yi)=ΣNi=1wmiI(Gm(xi)≠yi)
  
  学习器的权值为
  
  αm=12ln(1−ϵϵ)
  
  从这个公式可以看出当 ϵ 小于0.5时 α>=0 ,意味着学习器的误差率越小的基学习器在最终的分类器中作用越大。
  然后我们还需要做的就是更新样本的权值
  
  Dm+1=(wm+1,1,wm+1,2,...,wm+1,N)
  
  
  wm+1,i=wmiZmexp(−αmyiGm(xi)),i=1,2,...,N
  
  这样可以使得被基本分类器Gm(x)误分类样本的权值增大，而被正确分类样本的权值减小。
  其中 Zm 是规范化因子，可以使得 Dm+1 成为一个概率分布
  
  Zm=ΣNi=1wmiexp(−αmyiGm(xi))
  
  具体的证明过程参见周志华《机器学习》P172~P176。

• 步骤三：
  组合各弱学习器:
  

  f(x)=ΣMm=1αmGm(x)
  
  得到最终的分类器为
  
  G(x)=sign(f(x))=sign(ΣMm=1αmGm(x))
  
  sign(x) 在 x<0,x=0,x>0 时取值为-1，0，1

参考这个图片可以更加形象的理解 AdaBoost的流程。
伪代码表示：

Python 实现

AdaBoost.py

#-*- coding=utf8 -*-
from numpy import *
def loadData():
    dataMat = matrix([[1.,2.1],
                      [2.,1.1],
                      [1.3,1.1],
                      [1.,1.],
                      [2.,1.]])
    classLabel = [1.0,1.0,-1.0,-1.0,1.0]
    return dataMat,classLabel

#根据数据与阀值的比较进行分类
def stumpClassify(dataMatrix,dimen,threshVal,threshIneg):
    retArray = ones((shape(dataMatrix)[0],1))
    if threshIneg == 'lt':
        retArray[dataMatrix[:,dimen]<= threshVal] = -1.0
    else:
        retArray[dataMatrix[:,dimen]> threshVal] = -1.0
    return retArray

#创建最佳的单层决策树
def buildStump(dataArr,classLabels,D):
    dataMatrix = mat(dataArr);
    labelMat = mat(classLabels).T
    m,n=shape(dataMatrix)
    #initial
    numSteps = 10.0
    bestStump ={}
    bestClasEst = mat(zeros((m,1)))
    minerror = inf
    #遍历属性
    for i in range(n):
        rangeMin = dataMatrix[:,i].min()
        rangeMax = dataMatrix[:,i].max()
        stepSize = (rangeMax -rangeMin)/numSteps
        for j in range(-1,int(numSteps)+1):
            for inequal in ['lt','gt']:
                #设定阀值
                threshVal = (rangeMin+float(j)*stepSize)
                predictedVals = stumpClassify(dataMatrix,i,threshVal,inequal)
                errArr = mat(ones((m,1)))
                errArr[predictedVals==labelMat]=0
                weightedError = D.T*errArr
                if weightedError < minerror:
                    minerror = weightedError
                    bestClasEst = predictedVals.copy()
                    bestStump['dim'] = i
                    bestStump['thresh']=threshVal
                    bestStump['ineq'] = inequal
    #返回单层决策树的节点，误差，以及预测值
    return bestStump,minerror,bestClasEst

#基于单层决策树的AdaBoost训练过程
def AdaBoostTrainDS(dataArr,classLabels,numIt=40):
    #弱分类器的列表
    weakClassArr=[]
    m = shape(dataArr)[0]
    #step1:初始化训练数据的权值
    D = ones((m,1))/m
    aggClassEst = mat(zeros((m,1)))
    #串行训练各个弱分类器
    for i in range(numIt):
        bestStump,error,classEst = buildStump(dataArr,classLabels,D)
        print "D:　",D.T
        #计算学习器的权值
        alpha = float(0.5 * log((1.0 - error)/max(error, 1e-16)))
        bestStump['alpha']=alpha
        weakClassArr.append(bestStump)
        print "classEst: ",classEst.T
        #更新数据的权值
        expon = multiply(-1*alpha*mat(classLabels).T,classEst)
        D = multiply(D,exp(expon))
        D = D/D.sum()
        aggClassEst += alpha * classEst
        print "aggClassEst: ",alpha*classEst
        aggErrors = multiply(sign(aggClassEst)!=mat(classLabels).T,ones((m,1)))
        errorRate = aggErrors.sum()/m
        print "total error: ",errorRate,"\n"
        if errorRate == 0.0:
            break;
    return weakClassArr

#AdaBoost分类器
def adaClassify(datToClass,classfierArr):
    dataMatrix = mat(datToClass)
    m = shape(dataMatrix)[0]
    aggClassEst = mat(zeros((m,1)))
    for i in range(len(classfierArr)):
        classEst = stumpClassify(dataMatrix,classfierArr[i]['dim'],classfierArr[i]['thresh'],classfierArr[i]['ineq'])
        aggClassEst +=classfierArr[i]['alpha']*classEst
        print aggClassEst
    return sign(aggClassEst)

test.py

import AdaBoost
from numpy import *
#import api
#test loadData
dataMat,classLabel = AdaBoost.loadData()
print dataMat
#test buildStump
D = mat(ones((5,1))/5)
print AdaBoost.buildStump(dataMat,classLabel,D)
#test AdaBoost
classifierArr=AdaBoost.AdaBoostTrainDS(dataMat,classLabel,9)
#test classifier
print AdaBoost.adaClassify([[0,0],[5,5]],classifierArr)