P/NP/NP-Complete/NP-Hard

记得学计算理论的时候，似乎对这五个问题很清晰，但当时也不知道这个有什么用，所以很快又忘掉了。

现在想想，这个理论基础还是必须的，至少在划分算法复杂度上这是一个理论基石。

 

先看他们的定义：

 

P问题：可以通过确定性图灵机在多项式时间内求解。

NP问题：可以通过非确定性图灵机在多项式时间内求解。 或者说，可以在多项式时间内验证一个解。

              NP 中的 N 是指非确定的(non-deterministic）算法，这是这样一种算法：（1）猜一个答案。（2）验证这个答案是否正确。  （3）只要存在某次验证，答案是正确的，则该算法得解。 NP (non-deterministic polynomial)问题就是指，用这样的非确定的算法，验证步骤（2）有多项式时间的计算复杂度的算法。 
              NP问题的例子，Hamilton回路（在图中找一条环路，它经过且只经过一次每一个点）。
              非NP问题，无法在多项式时间内验证解。例子：问一个图是否不存在Hamilton回路。（除非穷举所有可能，否则无法验证）

NPC问题：它满足如下两个条件：
                1.是NP问题。
                2.所有的NP问题都能规约为它。具体参考百度百科NPC问题；
               俗语就是，到现在还找不到多项式时间解法的NP问题，只能用指数级甚至阶乘级的复杂度的搜索。
               因为所有的NP问题都能规约为NPC问题，如果一个NPC问题存在多项式时间的解法，那么会得出P=NP=NPC，所以，目前人们不相信NPC问题存在多项式时间的解法。
                NPC问题的例子：逻辑电路问题。给定一个逻辑电路（比如输入接上若干与非门），是否存在一个输入使其输出为True？

NP-Hard问题：所有的NP问题都能规约到它，但它不一定是NP问题。具体参考百度百科NP-hard。“旅行推销员问题”，简称“TSP”。即“已给一个n个点的完全图，每条边都有一个长度，求总长度最短的经过每个顶点正好一次的封闭回路”。还有一个典型的例子，就是输出n个元素的全排列。即使是非确定机，也不能在多项式时间内解决，这是一个NP-hard问题。

 

P和NP给出两个基本概念，而NPC才是我们实际情况遭遇到的问题，NP-hard是比NPC更大的一个范畴，是否对于只能通过穷举才能解决的问题，我们都可以说这是NP-hard呢？如果P！=NP就可以这样说。

NP-hard问题和NP-C问题都是在NP问题的基础上定义的， NPC是NP-hard和NP的交集，目前认为NP-hard的大型实例不存在精确解法，只能近似求解。

 

问题的归约：
这……我该用什么术语来解释呢？集合？太难说清了……如果你还记得函数的映射的话就比较容易想象了。
大致就是这样：找从问题1的所有输入到问题2的所有输入的对应，如果相应的，也能有问题2的所有输出到问题1的所有输出的对应，则若我们找到了问题2的解法，就能通过输入、输出的对应关系，得到问题1的解法。由此我们说问题1可归约到问题2。

 

 主要参考：

http://wenda.tianya.cn/wenda/thread?tid=2c7e8813511b9f81