[Wikioi 1319][BZOJ 1010][HNOI 2008]玩具装箱toy

题目描述 Description

P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个 常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.

输入描述 Input Description

第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

输出描述 Output Description

输出最小费用

样例输入 Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

样例输出 Sample Output

1

尼玛省选题的数据就是硬啊。。。第一次做用朴素DP，Wikioi全部TLE爆零，坑爹之处在于我用的DP是O(n^2)的，而且每次DP决策时都要来一次求和，TLE妥妥的，最后找到题解说要用斜率优化DP，所谓斜率优化就是将某一状态的DP解的优劣用斜率来表示，这里的最优解当然斜率要尽量小，那么就要将斜率大的直接剪掉，省去后面不必要的DP过程浪费时间，用一个数组模拟队列来保存当前情况下的最优解，每次DP开始时就将队首、队尾的劣质的解全部踢出队，然后再进行这一轮的DP。

关于斜率优化DP，我后面将借着学校形式主义化的“数学之美”活动写一篇论文，届时再发上来

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAXN 50010
#define LONG long long int
LONG f[MAXN]; //f[i]=把前i个打包的最小花费
LONG sum[MAXN]; //sum[i]=前i个玩具C总和
int n,queue[MAXN]; //queue[]:保存DP结果的队列
LONG l;
LONG min(LONG a,LONG b)
{
	if(a<b) return a;
	return b;
}
LONG X(int j) //求打包前j个玩具时DP函数的X值
{
	return sum[j-1]+j;
}
LONG Y(int j) //求打包前j个玩具时DP函数的Y值
{
	return f[j-1]+X(j)*X(j);
}
double K(int i,int j) //K(i,j)求过直线点i和点j的直线斜率
{
	LONG x=X(i)-X(j),y=Y(i)-Y(j);
	double k=double(y)/double(x);
	return k;
}
LONG getCost(int i,int j) //getcost(i,j)获得玩具i~j装在一个箱子里的最小花费
{
    LONG cost=sum[j]-sum[i-1]+j-i-l;
    return cost*cost; 
} 
int head=1,tail=0;
int main()
{
	int i,j,k,c;
    scanf("%d%lld",&n,&l);
	sum[0]=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
	{
       scanf("%d",&c);
	   sum[i]=sum[i-1]+c; //输入时处理前i个数的和
	}
    for(i=1;i<=n;i++)
	{
		f[i]=getCost(1,i);
		LONG a=sum[i]+i-l; //a=前i个玩具装箱总花费
		while(head<tail&&K(queue[head],queue[head+1])<=2*double(a))
			head++;
		if(head<=tail) 
			f[i]=min(f[i],f[queue[head]-1]+getCost(queue[head],i));
		while(head<tail&&K(queue[tail-1],queue[tail])>=K(queue[tail],i+1)) //寻找下凸折点
			tail--;
		queue[++tail]=i+1;
	}
	printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}