splay学习笔记及模板

splay很灵活的，它既可以作为一棵二叉查找树又可以作为一棵区间树，不过不能共存。
因此从两方面来说splay。
一、splay的rotate，splay操作
splay不是特别平衡。不过splay还算是平衡树吧，是有维护平衡的方式的。
splay维护平衡的方式就是提根。查询完了某个节点，就把这个节点提根。这样经过证明每次操作是均摊log(n)的。
提根就是不停旋转，一次旋转，目标节点总可以被转上去一层，然后最终会到根。单旋和其他平衡树一样。
然后注意splay比别的平衡树多了2种双旋，即zigzig和zagzag。
为什么呢？因为如果原来splay是一条链（且是一条直链，即左儿子连左儿子一直连下去），把链的尾部提根，如果像别的平衡树一样旋转（自底向上）那么转完了还是一条链，高度没有降低，最坏是O(n)的。
对于这种情况，zigzig和zagzag就有用了。
这种双旋是这样来的：

如果我们把最下面的点提根，那就要先zig目标节点的父亲，再zig目标节点。（不同于自底向上zig）
这样树的高度缩小了。只需要我们多一个维护当前节点的父亲。
总结一下，单旋和以前一样，不过要维护父亲。
提根(splay)操作，把当前节点转成目标节点的儿子。
如果目标节点（一般是0，即转成根；有时是根，即转成根的儿子）不是当前点的父亲的父亲，那么就要双旋。折线形就zigzag，zagzig，直线形就是zigzig，zagzag。
如果是，那么就只单旋一次退出循环。
二、平衡树
splay作为平衡树，可以O(logn)完成普通平衡树支持的所有操作。并且由于其支持区间树的特性，很多操作都有两种以上的写法。
插入：与二叉查找树类似。最后要提根。
求前驱：有很多写法了。可以从根向下找（类似于二叉查找树find），找到key[x] < val的就更新。也可以find到目标点，然后提根，在根的左子树里面找最大值。
求后继：同上。
求x的排名：有很多写法了。可以从根向下找，跑到右边子树去了就得+左边的size+根的tot，还可以找到x的前驱，把x的前驱提根，返回此时左边的size+根的tot+1。
求第k大：这个貌似还是像以前一样，从根向下找。
删除x：好像用以前的二叉查找树的方法也可以。。不过还有更简单的，就是找到x的前驱，提根，找到x的后继，提到右儿子。删掉根的右儿子的左儿子，即x。删一段区间也可以这么来，感觉比较像区间树了。
三、可重平衡树
这个和以前一样了，维护一个tot域，然后就可以做了。
没有SBT维护tot域麻烦因为这个sz没有两个意思，删除操作不用以前的，就用提根这样来删代码不怎么复杂。
四、pushup和pushdown
splay的旋转是把一个点向上转，那么需要pushup
pushup主要是在平衡树rotate，splay的时候调用，区间树也是rotate，splay的时候调用，有个build也会用，对某个子区间操作后还要pushup上去更新全区间。
在平衡树中，pushup主要维护一个size
在区间树中，pushup主要维护和别的与儿子有关的参数例如size，min，max，sum，rl（右侧子串长）,ll（左侧子串长），maxl（拼合后整个区间子串长）等等，比较像线段树。
不过一定要注意，splay的父节点也要参与其中。
如线段树维护一个sum：

tree[x].sum=tree[2*x].sum+tree[2*x+1].sum;

splay维护一个sum：

sum[x]=v[ch[x][0]]+v[ch[x][0]]+v[x];

平衡树很少有pushdown。
区间树的pushdown和线段树很像。主要是一个lazy标记。比如rev（翻转标记），delta（区间增加标记）等等。
因为区间翻转，就是左右子树交换，递归下去，继续左右子树交换，直到叶子。但是lazy操作，只把rev标记打在一段区间上，如果要访问这个区间的子区间，即在树上往下走时，再交换左右子树把rev消除掉。delta同理，先打在根上，还有往下走再把根的左右儿子加上delta，把根的delta重置。
因此，pushdown操作主要是发生在从根往下走，走到儿子前pushdown一次。
五、区间树
区间树主要维护一个数列。也可以认为它是一棵二叉查找树，不过key值变成了数列中的下标而非实值。
不过这样不怎么好写。。比如在第x个数后面插入一个y。下标就变了。
因此写区间树就不要想着平衡树，因此，splay就不支持动态区间第k大这种。
区间树还有一个rotateto（x，goal）操作。就是把当前数列中第x个元素提到goal位置。实现就是平衡树的第k大找到节点后splay。再说一遍，这个不需要专门维护下标，只需要size就可以了。
有了这些，区间树支持以下操作：
1.insert(x,y)在第x个数后面插入一个y。就是rotateto(x,0),rotateto(x+1,root)。然后新建一个节点接在根的右儿子的左儿子上面，完了记得pushup，后面不重复提醒了。
2.delete(l,r)删除位置为[l,r]的所有数。就是rotateto(l-1,0),rotateto(r+1,root)。然后以根的右儿子的左儿子为根的子树全砍掉。
3.add(l,r)把位置为[l,r]的所有数+1。就是rotateto(l-1,0),rotateto(r+1,root)。根的右儿子的左儿子的delta++。
4.reverse(l,r)翻转位置为[l,r]的所有数。就是rotateto(l-1,0),rotateto(r+1,root)。根的右儿子的左儿子的rev^=1。
5.min/max/sum(l,r)返回位置为[l,r]的所有数的最小/最大/和。就是rotateto(l-1,0),rotateto(r+1,root)。根的右儿子的左儿子的min/max/sum。
通过以上操作的复合和对其他数据的维护，还可以增加很多别的更复杂的操作。