百练 2755 神奇的口袋

描述

有一个神奇的口袋，总的容积是40，用这个口袋可以变出一些物品，这些物品的总体积必须是40。John现在有n个想要得到的物品，每个物品的体积分别是a ₁，a ₂……a _n。John可以从这些物品中选择一些，如果选出的物体的总体积是40，那么利用这个神奇的口袋，John就可以得到这些物品。现在的问题是，John有多少种不同的选择物品的方式。

输入

输入的第一行是正整数n (1 <= n <= 20)，表示不同的物品的数目。接下来的n行，每行有一个1到40之间的正整数，分别给出a ₁，a ₂……a _n的值。

输出

输出不同的选择物品的方式的数目。

样例输入

3
20
20
20

样例输出

3

枚举，最大2^20.

递归：

#include <iostream>
using namespace std;
int a[30]; int N;
int Ways(int w ,int k ) { // 从前k种物品中选择一些，凑成体积w的做法数目
if( w == 0 ) return 1;
if( k <= 0 ) return 0;
return Ways(w, k -1 ) + Ways(w - a[k], k -1 );
}
int main() {
cin >> N;
for( int i = 1;i <= N; ++ i )
cin >> a[i];
cout << Ways(40,N);
return 0;
}

二维动归：

#include <iostream>
using namespace std;
int a[30]; int N;
int Ways[40][30];//Ways[i][j]表示从前j种物品里凑出体积i的方法数
int main() {
cin >> N;
memset(Ways,0,sizeof(Ways));
for( int i = 1;i <= N; ++ i ) {
cin >> a[i];  Ways[0][i] = 1;
}
Ways[0][0] = 1;
for( int w = 1 ; w <= 40; ++ w ) {
for( int k = 1; k <= N; ++ k ) {
Ways[w][k] = Ways[w][k-1];
if( w-a[k] >= 0) Ways[w][k] += Ways[w-a[k]][k-1];
}
}
cout << Ways[40][N]; return 0;
}

此问题仅在询问容积40是否可达，40是个很小的
数，可以考虑对值域空间-即对容积的可达性进行动态
规划。
定义一维数组 int sum[41];
依次放入物品，计算每次放入物品可达的容积，
并在相应空间设置记录，最后判断sum[40] 是否可达
，到达了几次。
优化：

#include <iostream>
using namespace std;
#define MAX 41
int main(){
int n,i,j,input; int sum[MAX];
for(i=0;i<MAX;i++) sum[i]=0;
cin >> n;
for(i=0;i<n;i++){
cin >> input;
for(j=40;j>=1;j--)
if(sum[j]>0 && j+input <= 40)
sum[j+input] += sum[j];
//如果j有sum[j]种方式可达，则每种方式加上input就可达 j + input
sum[input]++;
}
cout << sum[40] << endl;
return 0;
}

对于sum[j+input] += sum[j];实际指对于所有满足sum[j]>0 && j+input <= 40在原有的sum[j+input]基础上增加sum[j],不断累积n次。另外，sum[input]++的原因是什么呢？？？

很容易想到sum[input]++就是存储input下标位置的值，那么为什么不能直接也和其他数一样通过sum[input] += sum[0];来得到呢，当我们把j最小设为0不是可以么？也许会有人觉得是这样，但请回头看清题意，物品的体积范围是1-40，也就是说sum[0]恒为0不会发生改变，倘若不特殊处理，那么每次input下标所对应的位置都将少1.