相机畸变详细推导

相机畸变模型

在前一篇文章中有提到，应该比较好理解。

我们可以看出在上图中可以分以下几个坐标系：

①　像机坐标系Oc

②　图像像素坐标系Oi

③　世界坐标系Ow

④　实际图像物理坐标系Od

⑤　理想图像物理坐标系Ou

2、畸变量

此时，畸变量可分为在X方向和Y方向上，这种畸变量我们只考虑了径向畸变，其他畸变右以忽略不计，径向畸变本身是有一定的线性关系的，下面畸变模型的讲解时也会说到：

Ｄx：x方向畸变量

Ｄy：y方向畸变量

3、实际图物理坐标系与像素坐标系的关系（基本关系）

dx: x方向的像素距（每个像素在x方向的长度）

dy: y方向的像素距（每个像素在y方向的长度）

4、基本公式（在线性标定的基础上）

5、畸变的总体表示

径向畸变Dr

离心畸变Dt

薄棱镜畸变Dp

6、三种畸变的数学模型

 

径向畸变及其规律（径向约束）：

离心畸变：

薄棱镜畸变：

总畸变：

畸变系数：

径向畸变：k1

离心畸变：p1, p2

薄棱径畸变：s1, s2

7、模型参数

内参数：

      焦比：fu, fv

      图像中心（主点）坐标：u0,v0

畸变系数： k1, p1, p2, s1, s2

 

 

外参数：

      平移矢量：Ｔ

      旋转矩阵：Ｒ

 

典型标定方法

    利用像机畸变模型建立约束方程

    确定优化目标函数

以非线性优化方法求解

 

缺点：

    优化程序计算复杂，速度慢

    标定的结果取决于初始值

8、两步标定法正式开始

1987年由Tsai提出

第一步：求除tz外的所有外参数

    利用径向排列约束（RAC）

    线性求解

第二步：求其余参数

    非线性优化

9、两步法的前提

假设：

 u0,v0已知

只考虑二阶径向畸变

 主点既是图像中心又是径向畸变中心

 

 

10、公式推导

得到以下公式：

11、径向约束公式

上面已经求出：

综合可得：

乘开：

12、第一步

1、求中间变量

 

为了方便表示与计算，用参数将变量代替：

2、 求|ty|

4、求tx

5、求R：

6、确定ty符号:

设ty>0, 求其它参数

     用远离图像中心的特征点计算:

 

 

假设条件正确:

    xci与ui-u0同号

    yci与vi-v0同号

 

 

剩余参数:fu,fv, tz, k1

约束方程：

 

13、第二步

剩余参数:fu,fv, tz, k1

已知：

求：

 

方法：非线性优化

 

 

确定初始值：

  k1=0, dv=1

  忽略非线性畸变，求解fv和tz

14、U0，V0的标定

直接光学方法 

变焦距法

径向排列约束法

 

 

直接光学法

用一束激光照射像机镜头

在光路上放一张有孔的纸

使激光的入射光线与反射光线重合

用像机摄取包含激光光斑的图象

光斑的中心坐标即为光心坐标

调整困难但精度较高 

 

 

变焦距法

 

条件：光心与镜头的缩放中心重合

实现：

      不同距离分别对多个特征点成像

      每个特征点一个线性方程

径向排列约束法

利用共面标定板，取zwi=0

 

 

 

非线性优化求解

 

 

15、小小总结一下：

前面标定方法共性：

    已知特征点二维图像坐标与三维空间坐标

    需要标定参照物

统称：传统标定方法

优点：适用任意摄像机模型，标定精度高

不足：需标定参照物，某些应用中难以实现