使用MKL求解矩阵的行列式值与逆

      在FORTRAN下有很多求矩阵行列式值以及逆的方法，这些方法包括自己写程序求解，使用如IMSL和MKL等下面的库函数求解。一般来说，使用IMSL求解矩阵的行列式值和逆最简单且速度适中，但是IMSL现在属于商业库，如果程序自己用可以通过一些方法来免费使用 ，但是若涉及版权，买的话还是挺贵的。使用MKL的话，从在我电脑上的测试来看，速度最快，但是用起来稍微复杂一些，如果你是非商业目的（non-commercial）在Linux下是免费的。（注意非商业目的可能并不包括学术目的，这个可以在Intel的声明中查看）

      对于使用MKL来求解行列式以及矩阵逆实际操作起来并不复杂，但是对于这个方面的中文说明较少（我自己理解是大牛们都不屑与写这么简单的东西），我就把我最近写的一些东西分享出来。有些地方可能是粗浅且错误的，需要自己留意鉴别。

      先说行列式求解，对于这个问题，使用的sgetrf函数，这个函数是对矩阵进行LU分解，函数的命名规则是这样的，s代表single也就是单精度，ge代表一般矩阵，f代表factorization。函数的具体参数如下：

call sgetrf( m, n, a, lda, ipiv, info )

输入参数为以下：

m ：代表输入矩阵a的行数

n ：代表输入矩阵a的列数

a ：代表输入矩阵

lda ：就是矩阵a的第一个维度，一般是m

输出参数为：

a ：被经过LU分解后的矩阵覆盖

ipiv ： 是一个数组，维度一般是 max(1,min( m ,  n ))，具体英文说明是The pivot indices; for  1  ≤ i  ≤ min(m, n), row  i  was interchanged with row  ipiv(i).

info：执行标示符，成功是0,其他为失败标识，具体查看mkl帮助。

      行列式值的计算程序基本上就是在ipiv上做文章，我个人开始猜测它代表的是行之间的交换，交换一次行列式求解时要变号，于是便可以根据这个来进行行列式值的求解。

      现在以一个4*4维的矩阵为例，给出求解程序：

call sgetrf( n, n, a, n,ipiv,info)

res = 1d0

do i = 1,4

  if(ipiv(i) .ne. i) then

   res = -res*a(i,i)

  else

   res = res*a(i,i)

  end if

end do

其中，n=4。

      我多次验证过这个程序，没有发现问题，但是也不排除出问题的可能性，使用需谨慎，另外使用的时候最好写个function，把代码封装到function里面，在引用的时候调用这个function就可以了。

      现在再说矩阵求逆，我看到大部分矩阵求逆都是使用sgetrf + sgetri的组合来求解的，

      在实际应用中我发现，直接求逆时如果lwork这个参数设置不好的话可能得到的结果是错误的，这点我不知道为什么？所以一般来说我使用sgetrf + sgetrs来求解矩阵逆。在这里以n*n矩阵为例来说明下求解过程。

      关于sgetrf我在上面说过了，现在来说sgetrs这个函数：

call sgetrs( trans, n, nrhs, a, lda, ipiv, b, ldb, info )

输入参数为以下：

trans ：代表求解什么样的方程组，trans = 'N'代表求解 A*X  =  B

n ：代表输入矩阵a的秩，一般就是行数

nrhs：一般代表B的行数，这里是n

a ：代表输入矩阵

lda ：就是矩阵a的第一个维度，这里是n

ldb ：就是矩阵b的第一个维度，这里是n

ipiv：就是上面LU分解后输出的ipiv

输出参数为：

b ：会被求解后的X所覆盖。

info：执行标示符，成功是0,其他为失败标识，具体查看mkl帮助。

      在这里，如果我把B设置为单位矩阵，那么X便是A矩阵的逆了，这样最终返回的B便会被X的值也就是A的逆所覆盖了，这样就成功的将A的逆求解出来了。具体的求解程序为：

call sgetrf( n, n, a, n,ipiv,info1)

call sgetrs( trans, n, nrhs, a, lda, ipiv, b, ldb, info2 )

输出的b便是a的逆，记得b要先设置成n*n的单位矩阵。

      求解矩阵的逆的时候我强烈建议你将他们封装到一个function中，然后再把这个function放到module中，便于主程序引用。我开始并没有把这两个函数放到function中，而是在程序中直接引用，从而造成了求解结果错误。我不知道这是为什么？可能是数据太大也可能是其他原因？我将这个问题反馈到了Intel论坛，只是现在没有得到答复。