【BZOJ 2154】 Crash的数字表格

2154: Crash的数字表格

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Description

今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数。例如，LCM(6, 8) = 24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个4*5的表格如下： 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这个表格，Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题：这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时，Crash就束手无策了，因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大，Crash只想知道表格里所有数的和mod 20101009的值。

Input

输入的第一行包含两个正整数，分别表示N和M。

Output

输出一个正整数，表示表格中所有数的和mod 20101009的值。

Sample Input

4 5

Sample Output

122
【数据规模和约定】
100%的数据满足N, M ≤ 107。

HINT

Source

数论

莫比乌斯反演。

以下来自PoPoQQQ的PPT。

最后的F(x,y)的推法和求gcd(x,y)=1的(x,y)对数差不多，只不过在推导过程中把原来1的地方换成x*y。

那么我们预处理出i^2*u[i]的前缀和，F(x,y)可以在O(sqrt(n))时间内求出来，而ans的式子也可以在O(sqrt(n))中求出来，因此最后的时间复杂度是O(n)的。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#define mod 20101009
#define LL long long
#define M 10000000+5
using namespace std;
int mu[M],p[1000000],check[M],tot,n,m;
LL s[M];
void Getmobius()
{
	mu[1]=1;
	for (int i=2;i<=n;i++)
	{
		if (!check[i])
		{
			p[++tot]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for (int j=1;j<=tot;j++)
		{
			if (i*p[j]>n) break;
			check[i*p[j]]=1;
			if (i%p[j]==0)
			{
				mu[i*p[j]]=0;
				break;
			}
			else mu[i*p[j]]=-mu[i];
		}
	}
	s[0]=0;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		s[i]=(s[i-1]+(1LL*mu[i]*i%mod*i%mod))%mod;
}
LL Sum(LL x,LL y)
{
	x=(x*(x+1)/2)%mod;
	y=(y*(y+1)/2)%mod;
	return (x*y%mod);
}
LL Getf(int x,int y)
{
	int pos;
	LL ans=0;
	for (int i=1;i<=x;i=pos+1)
	{
		pos=min(x/(x/i),y/(y/i));
		ans=(ans+(s[pos]-s[i-1]+mod)%mod*Sum((LL)x/i,(LL)y/i)%mod)%mod;
	}
	return ans;
}
int main()
{
        scanf("%d%d",&n,&m);
	if (n>m) swap(n,m);
	Getmobius();
	int pos;
	LL ans=0;
	for (int i=1;i<=n;i=pos+1)
	{
		pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
		ans=(ans+1LL*(i+pos)*(pos-i+1)/2%mod*Getf(n/i,m/i)%mod)%mod;
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

感悟：

1.WA都是因为强制转换long long类型出错了。。

谁能告诉我强制转换类型怎么转换QAQ

2.我发现目前做的几道莫比乌斯函数的题目里，用到莫比乌斯函数的地方都是求gcd(x,y)=1的(x,y)对数(x<=n,y<=m)

有两种方法：

一.一种是用到i==1?sigma(u[i])=1:0，详见【BZOJ 1101】

二.第二种是莫比乌斯反演：

这两种方法得到的结果可以互相推过去的，而第二种方法的结果更为普遍适用。

3.莫比乌斯反演的意义在于：

一些情况下直接求f(n)并不好求，而求倍数和或者约数和即F(n)比较容易，那么用下述的莫比乌斯反演可以讲f[n]和F[n]快速转化。

1.

 （约数和）

2.

  （倍数和）