杨辉三角的规律

引言

杨辉三角，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。以下为 n = 5 的杨辉三角。

1行          1
2行       1     1
3行    1    2    1 
4行  1   3    3    1
5行 1  4   6    4    1

性质

1、每个数等于它上方两数之和。

2、每行 数字左右对称，由1开始逐渐变大。

3、第n行的数字有n项。

4、第n行数字和为2 n-1。

5、第n行的第m个数和第n-m+1个数相等，即C(n-1,m-1)=C(n-1,n-m)（ 组合数性质

之一） [1]  

6、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即

。 [2]  

7、第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)（n-1下标，m-1上标），即为从n-1个不同 元素中取m-1个元素的组合数。

组合数计算方法：C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]

8、(a+b)^n的展开式中的各项 系数 依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。 [3]  

9、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个 斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个 斐波那契数。

10、将各行数字相排列，可得11的n-1（n为行数）次方：1=11^0; 11=11^1; 121=11^2……;细心的人可能会发现当n≥5时会不符合这一条性质，其实是这样的：把第n行的最右面的数字"1"放在个位，然后把左面的一个数字的个位对齐到十位... ...，以此类推，把空位用“0”补齐，然后把所有的数加起来，得到的数正好是11的n-1次方。以n=11为例，第十一行的数为：1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1；

C语言代码实现打印输出

网上很多都是利用二维数组实现，对于 n 很小的情况下，当然可以，但对于n比较大的时候，二维数组就比较消耗内存了，以下方法直接利用第7条性质，直接计算输出杨辉三角，代码如下所示。

#include<stdio.h>


void print_yanghui_triangle(int n)
{
<span style="white-space:pre">	</span>int i, j, k, s;
<span style="white-space:pre">	</span>for(i = 1; i <= n; i++)
<span style="white-space:pre">	</span>{
<span style="white-space:pre">		</span>for(j = 1; j <= i; j++)
<span style="white-space:pre">		</span>{
<span style="white-space:pre">			</span>s = 1;
<span style="white-space:pre">			</span>k = 1;
<span style="white-space:pre">			</span>//计算第 i 行的第 j 个数 
<span style="white-space:pre">			</span>for(k = 1; k < j; k ++)
<span style="white-space:pre">			</span>{
<span style="white-space:pre">				</span>s = s * (i - k)/k;
<span style="white-space:pre">			</span>}
<span style="white-space:pre">			</span>printf("%2d\t", s);
<span style="white-space:pre">		</span>}
<span style="white-space:pre">		</span>printf("\n");
<span style="white-space:pre">	</span>}
}
int main()
{
<span style="white-space:pre">	</span>int n = 0;
<span style="white-space:pre">	</span>
<span style="white-space:pre">	</span>printf("Input line of YangHui Triangle: ");
<span style="white-space:pre">	</span>scanf("%d", &n);
<span style="white-space:pre">	</span>print_yanghui_triangle(n);
<span style="white-space:pre">	</span>
<span style="white-space:pre">	</span>return 0;
}

输出结果如下：

Input line of YangHui Triangle: 9
 1
 1       1
 1       2       1
 1       3       3       1
 1       4       6       4       1
 1       5      10      10       5       1
 1       6      15      20      15       6       1
 1       7      21      35      35      21       7       1
 1       8      28      56      70      56      28       8       1

总结

注意计算第 i 行第 j 列数字的方法，示范代码的计算方式，能够避免很快溢出（按照公式计算，大概 n = 13 就为负数了）。本示范代码，能够计算到 n = 30，改成 long long型，能够处理更多，但仍然避免不了最终溢出。