手动开平方和立方

一、序言

        初中的时候数学老师教我们手动开平方，当时觉着很震惊，验证了好几遍，发现方法真的很牛！如今上了研究生，回想起以前手动开平方的方法都已经很模糊了，今天查了下百度，才发现，这个方法出自《九章算术》！原来中国几千年前就已经找到这种方法了！

二、手动开平方

       九章算术上是如此描述的：

开方术曰：
        置积为实。借一算。步之。超一等。议所得。以一乘所借一算为法。而以除。除已。倍法为定法。其复除。折法而下。复置借算步之如初。以复议一乘之。所得副。以加定法。以除。以所得副从定法。复除折下如前。 
       若开之不尽者为不可开，当以面命之。若实有分者，通分内子为定实。乃开之，讫，开其母报除。若母不可开者，又以母乘定实，乃开之，讫，令如母而一。

 2.1 算法描述

     1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开，分成几段，表示所求平方根是几位数；小数部分从最高位向后两位一段隔开，段数以需要的精度+1为准。

     2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数。

     3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数。

     4．把第二步求得的最高位的数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商。

     5．用第二步求得的的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商。如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试，得到的第一个小于余数的试商作为平方根的第二个数。（即3为平方根的第二位。

    6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数。用上一个余数减去上法中所求的积，与第三段数组成新的余数。这时再求试商，要用前面所得到的平方根的前两位数乘以20去试除新的余数，所得的最大整数为新的试商。。

    7．对新试商的检验如前法。

2.2 举例：

    1.从个位数向左每两位分成一段。

    2.最高位为10，取平方数不大于10的数，即3

    3. 10 - 3^2 = 1，余1

    4. 3*20 = 60，试商 134/60 = 2

    5，134 / (60+2) = 2，余10，小于62，所以确定 第二位是2

    6. 32*20 = 640，试商 1026 / 640 = 1

    7, 1026/(640+1) = 1,余385 ，所以确定第三位是1

    8，依次循环第4-7步，计算下一位，直到余数为0 

三、手动开立方：

    九章算术描述如下：

《九章算术》少广章：
第一九题：今有积一百八十六万八百六十七尺。问为立方几何？
答曰：一百二十三尺。
开立方术曰：
       置积为实。借一算步之，超二等。议所得，以再乘所借一算为法 ，而除之。除已，三之为定法。复除，折而下。以三乘所得数置中行。复借一算置下行。步之 ，中超一，下超二等。复置议，以一乘中，再乘下，皆副以加定法。以定法除。除已，倍下、 并中从定法。复除，折下如前。
       开之不尽者，亦为不可开。若积有分者，通分内子为定实。定 实乃开之，讫，开其母以报除。若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一。

3.1 算法描述

      1．将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组；

      2．根据最左边一组，求得立方根的最高位数；

      3．用第一组数减去立方根最高位数的立方，在其右边写上第二组数；

     4．用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数，得出试商；

     5．把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边，观察其和是否大于余数，若大于，就减小试商再试，若不大于，试商就是立方根的第二位数；

     6．用同样的方法，继续求立方根的其他各位上的数。对新试商的检验亦如前法。

3.2 举例