bzoj1013: [JSOI2008]球形空间产生器

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bzoj1013

题目描述

Description

有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

第一行是一个整数，n。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

HINT

数据规模：
对于40%的数据，1<=n<=3
对于100%的数据，1<=n<=10

提示：给出两个定义：
1、 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。
2、 距离：设两个n为空间上的点A, B的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 + … + (an-bn)^2 )

题解

我们设好半径，可以列出n+1个方程，但是带有二次项。
将每一个方程与前一个作差，可以将二次项消去，得到n个n元方程组，用高斯消元来解。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;

#define exp 1e-9
int n;
double a[15][15],b[15];
bool change(int x){
    if(fabs(a[x][x])>=exp) return true;
    int i=x+1;
    for(;i<=n;i++) if(fabs(a[i][x])>=exp) break;
    if(fabs(a[i][x])<exp) return false;
    for(int j=x;j<=n;j++) swap(a[i][j],a[x][j]);
    return true;
}

void gauss(){
    for(int i=1;i<n;i++){
        if(!change(i)) continue;
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            double tmp=a[j][i]/a[i][i];
            for(int l=i;l<=n;l++) a[j][l]-=tmp*a[i][l];
            b[j]-=tmp*b[i];
        }
    }
    for(int i=n;i>0;i--){
        double tmp=0;
        for(int j=i+1;j<=n;j++) tmp+=a[i][j]*b[j];
        b[i]=(b[i]-tmp)/a[i][i];
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n+1;i++)
     for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%lf",&a[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=1;j<=n;j++){
        b[i]+=a[i][j]*a[i][j]-a[i+1][j]*a[i+1][j];
        a[i][j]=2*a[i][j]-2*a[i+1][j];
    }
    gauss();
    for(int i=1;i<n;i++) printf("%.3f ",b[i]);
    printf("%.3f",b[n]);
    return 0;
}