UVa 515 King (差分约束系统)

差分约束系统：

如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，其中每个约束条件形如xj-xi<=bk(i,j∈[1,n],k∈[1,m]),则称其为差分约束系统(system of difference constraints)。亦即，差分约束系统是求解关于一组变量的特殊不等式组的方法。

        差分约束可以转化话单源最短路求解。因为单源最短路径满足三角不等式d[v] <= d[u] + w(u, v), 这里的 <= 可以为改 >= 只要改变一下初始化条件即可。

 

        差分约束题目有两种，一种求最大值，另外一种求最小值。

       （1）当题目是求满足给定不等式的最小值时，就是求图的最长路。

        建图方式如下：a – b >= c，对应于边b –> a w(b, a) = c, 然后求最短路；判断条件是：d[v] <= d[u] + w(u, v), 初始化d[]为-INF. 这样求出的d[]就是满足条件的最小值。原因很简单，因为d[i] 是从-INF开始增大，根据不等式逐渐增大，当满足所有不等式时，那么d[i]肯定是最小的了。

       （2）当题目是求满足给定不等式的最大值时，就是求图的最短路。

        建图方式如下：a – b <= c，对应于边b –> a w(b, a) = c, 然后求最长路；判断条件是：d[v] >= d[u] + w(u, v), 初始化d[]为INF.这样求出的d[]就是最大值。原因和上面一样，因为是从INF逐渐减小的，当满足完所有条件时，就停止。那么d[i]是最大的了。

 

       常见单源最短路径方法有bellman_ford, spfa, Dijkstra

       bellman_ford算法，适用于边值负权的图，还能判断是否存在负权回路，它是把所有的边都松弛n-1次。算法复杂度为O(VE),这个方法效率不高，在数据规模大时，往往会TLM。

       spfa算法，是bellman_ford算法的改进版。它通过一个队列或栈，来保存需要更新的顶点。它减去了bellman算法很多不必要的松弛,因此它的效率比bellman要好,为O(ke)。

       Dijkstra算法，它只适用于边值为非负的图上。它基于贪心，每次选取最短的边。可以用heap来优化，在正权图也可以考虑。

 

       体会：虽然bellman_ford不及spfa的效率，但它在判断是否存在负权回路比spfa方便。它能判断不连通的图，而spfa判断不连通图时有可能不准确，当开始的源点到达不了某些顶点时，那么那些顶点就无法检验了。为此，spfa需要添加一个超源点来使得图连通（还有一个方法：就是先把所有顶点入队），而bellman不需要添加超源点， 因为它是对图的每一条边都进行n-1次松弛。有时候超源点不好添加，这时可以考虑用bellman。

       还有一点，当适用spfa添加超源点使得图连通（超源点S0 到其他顶点距离都为0）时，用最短路求出的解， 除了满足给定的不等式外，还会满足下列的不等式：

        S1 – S0 <= 0

        S2 – S0 <= 0

        …

        Sn – S0 <= 0

也就是说S1 ~ Sn是 < 0 的，这个对不同问题，要具体分析。这些额外满足的不等式，不能与题目要求的矛盾。

SPFA判负圈需要图联通，所以要加个超源点连上所有的点。而Bellman判负圈是对每一条边进行松弛，可以直接判。

SPFA code：

/* **********************************************
Author      : JayYe
Created Time: 2013/10/7 15:26:16
File Name   : Orz.cpp
*********************************************** */

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 100 + 5;
const int INF = 1<<30;

struct Edge{
    int u, to, next, val;
}edge[maxn*maxn];

int head[maxn], d[maxn], vis[maxn], T[maxn], q[maxn*maxn], n, E;

void init() {
    memset(head, -1, sizeof(head));
    E = 0;
}

void newedge(int u, int to, int val) {
    edge[E].u = u;
    edge[E].to = to;
    edge[E].val = val;
    edge[E].next = head[u];
    head[u] = E++;
}

bool SPFA() {
    for(int i = 0;i <= n + 1; i++)  {
        d[i] = INF; vis[i] = T[i] = 0;
    }
    T[n+1] = 1;
    d[n+1] = 0;
    vis[n+1] = 1;
    int st = 0, ed = 0;
    q[ed++] = n+1;
    while(st < ed) {
        int u = q[st++];
        vis[u] = 0;
        for(int i = head[u];i != -1;i = edge[i].next) {
            int to = edge[i].to, val = edge[i].val;
            if(d[to] > d[u] + val) {
                d[to] = d[u] + val;
                if(!vis[to]) {
                    vis[to] = 1;
                    T[to]++;
                    if(T[to] > n + 1)   return true;
                    q[ed++] = to;
                }
            }
        }
    }
    return false;
}

int main() {
    int m;
    while(scanf("%d", &n) != -1 && n) {
        init();
        scanf("%d", &m);
        for(int i = 0;i < m; i++) {
            int fr, len, k;
            char op[4];
            scanf("%d%d%s%d", &fr, &len, op, &k);
            int u = fr + len, to = fr-1;
            if(op[0] == 'g')
                newedge(u, to, -1 - k);
            else
                newedge(to, u, k - 1);
        }
        for(int i = 0;i <= n; i++)  newedge(n+1, i, 0);
        printf("%s\n", SPFA() ? "successful conspiracy" : "lamentable kingdom");
    }
    return 0;
}

Bellman code:

/* **********************************************
Author      : JayYe
Created Time: 2013/10/7 15:26:16
File Name   : Orz.cpp
*********************************************** */

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 100 + 5;

struct Edge{
    int u, to, next, val;
}edge[maxn*maxn*2];

int head[maxn], d[maxn], n, E;

void init() {
    memset(head, -1, sizeof(head));
    E = 0;
}

void newedge(int u, int to, int val) {
    edge[E].u = u;
    edge[E].to = to;
    edge[E].val = val;
    edge[E].next = head[u];
    head[u] = E++;
}

bool Bellman() {
    memset(d, 0, sizeof(d));
    for(int i = 0;i < n+1; i++) {
        for(int j = 0;j < E; j++) {
            int u = edge[j].u, to = edge[j].to, val = edge[j].val;
            if(d[to] > d[u] + val) {
                d[to] = d[u] + val;
                if(i == n)  return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int main() {
    int m;
    while(scanf("%d", &n) != -1 && n) {
        init();
        scanf("%d", &m);
        for(int i = 0;i < m; i++) {
            int fr, len, k;
            char op[4];
            scanf("%d%d%s%d", &fr, &len, op, &k);
            int u = fr + len, to = fr-1;
            if(op[0] == 'g')
                newedge(u, to, - 1 - k);
            else
                newedge(to, u, k - 1);
        }
        printf("%s\n", Bellman() ? "successful conspiracy" : "lamentable kingdom");
    }
    return 0;
}