hdu 2837 Calculation 指数循环节

这题题意很简单，就是求多重指数取模，其实就是用到指数循环节的知识，首先要有这个公式

A^x % m = A^(x%phi(m)+phi(m)) % m (x >= phi(m))

不了解的可以戳这里看看 http://blog.csdn.net/u010710717/article/details/9631031

有了这个结论后问题似乎变得很简单了，对于每一层只需要判断下 x 是否 >= Phi(C) ，但是我在hdu的discuss里看到http://acm.hdu.edu.cn/discuss/problem/post/reply.php?postid=5417&messageid=1&deep=0

这就是我们浙理工犀利的数论大神耀王写的几点看法，

[定理]A^x % m = A^(x%phi(m)+phi(m)) % m (x >= phi(m))

1)在求a^b^c % m 的时候,递归求b^c % phi(m),如果c很大是得b^c>=phi(m),那么
原式应该=a^(b^c % phi(m) + phi(m)) % m, 但是取余后的c（用c'表示）可能很小使得b^c' < phi(m),
很多代码（可能标程在内）只是判断当前这层，如上例的话 b^c' < phi(m) 所以有的代码就不加 phi(m)了，
事实上应该加上phi(m)，如果 b^c >= phi(m)的话；但是神奇的是这题的1000组数据，只判当前也是对的。
2)那到底怎么判断到底加不加模数呢？ 提出假设：如果x >= phi(m),则 a^x >= m (a > 1)。假设不成立,
那么存在x >= phi(m)且 a^x < m (a > 1), 则存在 2^phi(m) < m (a取2)，确实存在如m=6,phi(6)=2,2^phi(6) < 6,
但是ONLY只有6,所以只需特判即可。所以有定理如果x >= phi(m), a^x >= m (a > 1 && not(a==2&&x==2&&m==6[注意x是真实值]));
那么只要有一层超出了模数，那么之前的都要加上模数!;但是此题不加特判也能AC，经本人尝试几下未找到反例。

对于这些，我也尝试找了几下，首先 对于 Phi为6的有好几个，我现在就单单拿14来论证下，Phi(14) = 6，

假如我们要求x^(2^y) %14 ， 如果y >= Phi(6) = 2 ，得到的2^y = 2^(y%2 + 2) %6 ，假设y是2的倍数且很大，那么得到的2^y = 4 ，这样原式就变成了 x^4 %14， 4 < Phi(14)， 也就是说4不需要加上Phi(14)，而实际上2^y早就超过Phi(14)，由公式我们应该需要加上Phi(14)，因为一般人都是在每一层进行判断该层x 是否 >= mod，但是这个就是反例，也就是说我们必须要特判才行，实际上不用特判也貌似完全没有问题！我检验了x^(4)%14 和 x^(4+Phi(14))，发现x无论是什么数，这两个结果永远都是一样的，觉得有点奇怪，照理说任意的x和14不一定互质，但是这检验后的确是这样的。

希望路过的大牛看看指点一下！

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define LL __int64

const int maxn = 100000;
bool vis[maxn];
int num;
LL pri[maxn];

void get_prime() {
	int i, j;
	vis[1] = 1;
	for(i = 2;i*i <= maxn; i++) if(!vis[i])
		for(j = i*i;j <= maxn; j += i)	vis[j] = 1;
	num = 0;
	for(i = 2;i <= maxn; i++)	if(!vis[i])
		pri[num++] = i;
}

LL euler(LL n) {
	LL ans = n;
	for(int i = 0;i < num && pri[i]*pri[i] <= n; i++) {
		if(n%pri[i] == 0)	 {
			ans = ans - ans / pri[i];
			while(n%pri[i] == 0)	n /= pri[i];
		}
	}
	if(n > 1)	ans = ans - ans/n;
	return ans;
}

LL powmod(LL x, LL n, LL  mod) {
	LL ret = 1;
	LL now = 1;
	for(int i = 0;i < n; i++) {
		now *= x;
		if(now >= mod)	break;
	}
	if(now >= mod)	now = mod;
	else	now = 0;
	while(n) {
		if(n&1) {
			ret = ret*x;	
			ret %= mod;
		}
		x = x*x%mod;
		n /= 2;
	}
	return ret+now;
}
	
LL Jay(LL n, LL m) {
	if(n == 0) {
		return 1;
	}
	LL cur = euler(m);
	LL now = Jay(n/10, cur);
	LL ans = powmod(n%10, now, m);
	return ans;
}

int main() {
	get_prime();
	int t;
	LL n, m;
	scanf("%d", &t);
	while(t--) {
		scanf("%I64d%I64d", &n, &m);
		printf("%I64d\n", Jay(n, m)%m);
	}
	return 0;
}