求用1，2，5这三个数不同个数组合的和为100的组合个数

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写一个程序, 要求功能：求出用1，2，5这三个数不同个数组合的和为100的组合个数。
如：100个1是一个组合，5个1加19个5是一个组合。。。。

 

答案：最容易想到的算法是：
设x是1的个数，y是2的个数，z是5的个数，number是组合数
注意到0<=x<=100，0<=y<=50，0<=z=20，所以可以编程为：

 number=0;
 for (x=0; x<=100; x++)
 for (y=0; y<=50; y++)
 for (z=0; z<=20; z++)
 if ((x+2*y+5*z)==100)
 number++;
 cout<<number<<endl;

上面这个程序一共要循环100*50*20次，效率实在是太低了
事实上，这个题目是一道明显的数学问题，而不是单纯的编程问题。我的解法如下：
因为x+2y+5z=100
所以x+2y=100-5z，且z<=20 x<=100 y<=50
所以(x+2y)<=100，且(x+5z)是偶数
对z作循环，求x的可能值如下：

z=0, x=100, 98, 96, ... 0
z=1, x=95, 93, ..., 1
z=2, x=90, 88, ..., 0
z=3, x=85, 83, ..., 1
z=4, x=80, 78, ..., 0
......
z=19, x=5, 3, 1
z=20, x=0

因此，组合总数为100以内的偶数+95以内的奇数+90以内的偶数+...+5以内的奇数+1，
即为：
(51+48)+(46+43)+(41+38)+(36+33)+(31+28)+(26+23)+(21+18)+(16+13)+(11+8)+(6+3)+1


某个偶数m以内的偶数个数（包括0）可以表示为m/2+1=(m+2)/2
某个奇数m以内的奇数个数也可以表示为(m+2)/2

所以，求总的组合次数可以编程为：

 number=0;
 for (int m=0;m<=100;m+=5)
 {
 number+=(m+2)/2;
 }
 cout<<number<<endl;

这个程序,只需要循环21次, 两个变量，就可以得到答案,比上面的那个程序高效了许多
倍----只是因为作了一些简单的数学分析

这再一次证明了：计算机程序=数据结构+算法，而且算法是程序的灵魂，对任何工程问题，当用软件来实现时，必须选取满足当前的资源限制，用户需求限制，开发时间限制等种种限制条件下的最优算法。而绝不能一拿到手，就立刻用最容易想到的算法编出一个程序了事——这不是一个专业的研发人员的行为。

那么，那种最容易想到的算法就完全没有用吗？不，这种算法正好可以用来验证新算法的正确性，在调试阶段，这非常有用。在很多大公司，例如微软，都采用了这种方法：在调试阶段，对一些重要的需要好的算法来实现的程序，而这种好的算法又比较复杂时，同时用容易想到的算法来验证这段程序，如果两种算法得出的结果不一致（而最容易想到的算法保证是正确的），那么说明优化的算法出了问题，需要修改。
可以举例表示为：

 #ifdef DEBUG
 int simple();
 #end if
 int optimize();
 ......
 in a function:
 {
 result=optimize();
 ASSERT(result==simple());
 }

这样,在调试阶段,如果简单算法和优化算法的结果不一致,就会打出断言。同时，在程序的发布版本，却不会包含笨重的simple()函数。——任何大型工程软件都需要预先设计良好的调试手段，而这里提到的就是一种有用的方法。
**************************************************可执行代码******************************************

 #include <iostream>
 #include <cmath>
 using namespace std;

 int SimpleSolution();
 int optimize();
 void main()
 {
 int number1,number2;
 cout<<"求用1，2，5这三个数不同个数组合的和为100的组合个数"<<endl;
 number1=SimpleSolution();
 cout<<"Simple solution:"<<number1<<endl;
     number2=optimize();
 cout<<"Optimize solution:"<<number2<<endl;
 }

 int SimpleSolution()
 {
 int number(0);
 for(int i=0;i<=100;i++)
    for(int j=0;j<=50;j++)
     for(int k=0;k<=20;k++)
     {
      if(i+2*j+5*k==100)
       number++;
     }
 return number;
 }

 int optimize()
 {
 int number=0;
 for(int m=0;m<=100;m+=5)
 {
        number+=(m+2)/2;
 }
 return number;
 }