RMQ

RMQ（范围内最小值）

问题描述：给出一个n个元素的数组A1，A2，A3,....An,给你L,R让你计算min{AL,AL+1,AL+2......AR}

接下来我们就要进入正题了，Tarjan的Space-Table算法，这个算法基于DP的思想，算法复杂度O(nlogn)

我们采用动态规划的思想来处理范围最小值问题

dp[i][j]表示从i开始，长度为2的j次幂的一段元素的最小值，

状态转移方程为

dp[i][j] = min(dp[i][j-1],dp[i+2^(j-1)][j-1]);

这个转移方程有一个最重要的初始化

for 1 to n

dp[i][0] = A[i];

我们发现以i开始2^0都是A[i];

我们递推几个例子

i = 1 j = 1

dp[1][1] = min(dp[1][0],dp[1+2^(1-1)][0]) ->dp[1][1] = min(A[1],A[2])   A[1],A[2]

i = 2 j = 1

dp[2][1] = min(dp[2][0],dp[2+2^(1-1)][0]) ->dp[2][1] = min(A[2],A[3])   A[2],A[3]

.

.

i = n j = 1

dp[n][1] = min(dp[n][0],dp[n+2^(1-1)][0]) ->dp[n][1] = min(A[n],A[n+1]) A[n],A[n+1]

i = 1 j = 2

dp[1][2] = min(dp[1][1],dp[1+2^(2-1)][1])->dp[1][2] = min(dp[1][1],dp[3][1])

i = 2 j = 2

dp[2][2] = min(dp[2][1],dp[2+2^(2-1)][1])->dp[2][2] = min(dp[2][1],dp[4][1]) 

.

.

下面就不推了····你会发现很巧妙的把任意区间的最小值都求出来了·····DP好厉害····

我们的程序也就出来了

int RMQ_init()
{
    for(int i = 1; i<=n; i++) dp[i][0] = A[i];
    for(int j = 1; (1<<j)<=n; j++)
    {
        for(int i = 1; i+j-1<=n; i++) //下角标为i的起始位置
        {
            dp[i][j] = min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }

}

我们根据递推也会发现为什么先从j循环了吧。。

然后是查询··

我们应该找到个K，让K满足2^k<=R-L+1,也就是以L开头，以R结尾的2^K的区间

int RMQ(int L,int R)
{
    int k = 0;
    while(1<<(k+1)<=R-L+1) k++;
    return min(dp[L][k],dp[R-(1<<k)+1][k]);
}

代码其实非常简单，今天又看了一遍，有了更深的理解，书还是要多看的哦