最大公约数的运用

转载自http://www.ithao123.cn/content-3667419.html

线段上格点的个数

给定平面上的两个格点 P1(x1,y1)   和 P2(x2,y2) , 线段上 P1P2 上，除 P1 和 P2 以外一共有多少格点

虽然可以用穷举法，遍历 min(x1,x2)≤x≤max(x1,x2)且min(y1,y2)≤y≤max(y1,y2)       的格点可以得到正确答案，但是复杂度确实 O(|x1−x2|×|y1−y2|)       ，其实这个题的答案是 |x1−x2|和|y1−y2|     的最大公约数减去1。（注意， |x1−x2|=0且|y1−y2|=0    时，答案为0）

原因，首先看一下 |x1−x2|和|y1−y2|     的最大公约数代表的是啥？ 其实可以看成 在横向和竖向的最大的公共等分数， 比如 6 的等分点可以是 1:1:1:1:1:1分成6份 ,也可以是 2:2:2分成3份，或者是 6，只有1份。（其实对应的是 6能被6，3，1整除） 那么 6和9的最大公共等分数是3，即6分为 2：2：2 ， 9分为3：3：3. 那么边长为6和9的矩形，按照这样分会是什么情况呢？ 

通过上图可以看出，大矩形的对角线正好经过 (2,3),(4,6),(6,9) 除开(6,9)，就是本体所要求的点。这就是为什么这个题的答案是 |x1−x2|和|y1−y2|      的最大公约数减去1。

那这个题可以转换为求最大公约数的问题，最大公约数一般使用辗转相除法

辗转想法的原理： 
如果有两个自然数a和b（ a>b )， 可以写成 a=k×b+c  
情况1：如果 c=0 ,那么gcd(a,b)=b 
情况2：如果 c≠0    , 那么gcd(a,b)=gcd(b,c)