bzoj 1010: [HNOI2008]玩具装箱toy（斜率优化）

1010: [HNOI2008]玩具装箱toy

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Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

HINT

Source

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题解：斜率优化

状态转移方程：f[i]=f[j]+(x-l)^2   

x=i-(j+1)+sum[i]-sum[j]

   (i+sum[i])-(j+sum[j])-1

另i+sum[i]=a, j+sum[j]=b带入方程得：

f[i]=f[i]+((x-y)-(l+1))^2

经过大量化简得：

f[i]=-2ba+b^2+2*l*b+f[j]+l^2-2*l*a+a*a

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define N 50003
#define ll long long 
using namespace std;
ll n,l,p[N],q[N],sum[N],f[N];
ll K(ll x)
{
    return -2*p[x];
}
ll B(ll x)
{
    return p[x]*p[x]+2*l*p[x]+f[x];
}
ll calc(ll x,ll y)
{
    return K(y)*p[x]+B(y);
}
inline bool pd(ll x1,ll x2,ll x3){
    ll w1=(K(x1)-K(x3))*(B(x2)-B(x1));
    ll w2=(K(x1)-K(x2))*(B(x3)-B(x1));
    return w1>=w2;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&l);
    for (int i=1;i<=n;i++)
     {
        ll x; scanf("%lld",&x);
        sum[i]=sum[i-1]+x;
        p[i]=sum[i]+i;
     }
    l++;
    ll  head=0,tail=0;
    for (ll i=1;i<=n;i++)
     {
        while (head<tail&&calc(i,q[head])>=calc(i,q[head+1]))
         head++;
        f[i]=calc(i,q[head])+p[i]*p[i]-2*l*p[i]+l*l; 
        while (head<tail&&pd(i,q[tail-1],q[tail]))
         tail--;
        tail++; q[tail]=i; 
     }
    printf("%lld",f[n]);
}