数据结构学习笔记 --- 查找（哈希表）

hashing定义了一种将字符组成的字符串转换为固定长度(一般是更短长度)的数值或索引值的方法，称为散列法，也叫哈希法。由于通过更短的哈希值比用原始值进行数据库搜索更快，这种方法一般用来在数据库中建立索引并进行搜索，同时还用在各种解密算法中。

　　设所有可能出现的关键字集合记为u(简称全集)。实际发生(即实际存储)的关键字集合记为k（|k|比|u|小得多）。|k|是集合k中元素的个数。

　　散列方法是使用函数hash将u映射到表t[0..m-1]的下标上（m=o(|u|)）。这样以u中关键字为自变量，以h为函数的运算结果就是相应结点的存储地址。从而达到在o(1)时间内就可完成查找。

　　其中：

　　① hash：u→{0，1，2，…，m-1}，通常称h为散列函数(hash function)。散列函数h的作用是压缩待处理的下标范围，使待处理的|u|个值减少到m个值，从而降低空间开销。

　　② t为散列表(hash table)。

　　③ hash(ki)(ki∈u)是关键字为ki结点存储地址(亦称散列值或散列地址)。

　　④ 将结点按其关键字的散列地址存储到散列表中的过程称为散列(hashing).

　　比如：有一组数据包括用户名字、电话、住址等，为了快速的检索，我们可以利用名字作为关键码，hash规则就是把名字中每一个字的拼音的第一个字母拿出来，把该字母在26个字母中的顺序值取出来加在一块作为改记录的地址。比如张三，就是z+s＝26+19＝45。就是把张三存在地址为45处。

　　但是这样存在一个问题，比如假如有个用户名字叫做：周四，那么计算它的地址时也是z+s＝45，这样它与张三就有相同的地址，这就是冲突，也叫作碰撞！

　　冲突：两个不同的关键字，由于散列函数值相同，因而被映射到同一表位置上。该现象称为冲突(collision)或碰撞。发生冲突的两个关键字称为该散列函数的同义词(synonym)。

　　冲突基本上不可避免的，除非数据很少，我们只能采取措施尽量避免冲突，或者寻找解决冲突的办法。影响冲突的因素

　　冲突的频繁程度除了与h相关外，还与表的填满程度相关。

　　设m和n分别表示表长和表中填人的结点数，则将α=n/m定义为散列表的装填因子(loadfactor)。α越大，表越满，冲突的机会也越大。通常取α≤1。

　　散列函数的构造方法：

　　1、散列函数的选择有两条标准：简单和均匀。

　　简单指散列函数的计算简单快速；

　　均匀指对于关键字集合中的任一关键字，散列函数能以等概率将其映射到表空间的任何一个位置上。也就是说，散列函数能将子集k随机均匀地分布在表的地址集{0，1，…，m-1}上，以使冲突最小化。

　　2、常用散列函数

　　（1）直接定址法：比如在一个0～100岁的年龄统计表，我们就可以把年龄作为地址。

　　（2）平方取中法

　　具体方法：先通过求关键字的平方值扩大相近数的差别，然后根据表长度取中间的几位数作为散列函数值。又因为一个乘积的中间几位数和乘数的每一位都相关，所以由此产生的散列地址较为均匀。

　　（3）除留余数法

　　取关键字被某个不大于哈希表表长m的数p除后所得余数为哈希地址。该方法的关键是选取m。选取的m应使得散列函数值尽可能与关键字的各位相关。m最好为素数（4）随机数法

　　选择一个随机函数，取关键字的随机函数值为它的散列地址，即

　　h(key)=random(key)

　　其中random为伪随机函数，但要保证函数值是在0到m-1之间。

　　处理冲突的方法：

　　１、开放定址法

　　hi=(h(key)+di) mod mi=1,2,...,k(k<=m-1)

　　其中m为表长，di为增量序列

　　如果di值可能为1,2,3,...m-1，称线性探测再散列。

　　如果di取值可能为1,-1,2,-2,4,-4,9,-9,16,-16,...k*k,-k*k(k<=m/2)

　　称二次探测再散列。

　　如果di取值可能为伪随机数列。称伪随机探测再散列。开放地址法堆装填因子的要求

　　开放定址法要求散列表的装填因子α≤l，实用中取α为0.5到0.9之间的某个值为宜。

　　②二次探查法(quadraticprobing)

　　二次探查法的探查序列是：

　　hi=(h(key)+i*i)％m0≤i≤m-1 //即di=i2

　　即探查序列为d=h(key)，d+12，d+22，…，等。

　　该方法的缺陷是不易探查到整个散列空间。

　　③双重散列法(doublehashing)

　　该方法是开放定址法中最好的方法之一，它的探查序列是：

　　hi=(h(key)+i*h1(key))％m0≤i≤m-1 //即di=i*h1(key)

　　即探查序列为：

　　d=h(key)，(d+h1(key))％m，(d+2h1(key))％m，…，等。

　　该方法使用了两个散列函数h(key)和h1(key)，故也称为双散列函数探查法。

　　2、拉链法

　　拉链法解决冲突的方法

　　拉链法解决冲突的做法是：将所有关键字为同义词的结点链接在同一个单链表中。若选定的散列表长度为m，则可将散列表定义为一个由m个头指针组成的指针数组t[0..m-1]。凡是散列地址为i的结点，均插入到以t为头指针的单链表中。t中各分量的初值均应为空指针。在拉链法中，装填因子α可以大于1，但一般均取α≤1。

　　3、建立一个公共溢出区

　　假设哈希函数的值域为[0,m-1],则设向量hashtable[0..m-1]为基本表，另外设立存储空间向量overtable[0..v]用以存储发生冲突的记录。

　　性能分析

　　插入和删除的时间均取决于查找，故下面只分析查找操作的时间性能。

　　虽然散列表在关键字和存储位置之间建立了对应关系，理想情况是无须关键字的比较就可找到待查关键字。但是由于冲突的存在，散列表的查找过程仍是一个和关键字比较的过程，不过散列表的平均查找长度比顺序查找、二分查找等完全依赖于关键字比较的查找要小得多。

　　（1）查找成功的asl

　　散列表上的查找优于顺序查找和二分查找。

　　（2） 查找不成功的asl

　　对于不成功的查找，顺序查找和二分查找所需进行的关键字比较次数仅取决于表长，而散列查找所需进行的关键字比较次数和待查结点有关。因此，在等概率情况下，也可将散列表在查找不成功时的平均查找长度，定义为查找不成功时对关键字需要执行的平均比较次数。

　　注意：

　　①由同一个散列函数、不同的解决冲突方法构造的散列表，其平均查找长度是不相同的。

　　②散列表的平均查找长度不是结点个数n的函数，而是装填因子α的函数。因此在设计散列表时可选择α以控制散列表的平均查找长度。

　　③ α的取值

　　α越小，产生冲突的机会就小，但α过小，空间的浪费就过多。只要α选择合适，散列表上的平均查找长度就是一个常数，即散列表上查找的平均时间为o(1)。

　　④ 散列法与其他查找方法的区别

　　除散列法外，其他查找方法有共同特征为：均是建立在比较关键字的基础上。其中顺序查找是对无序集合的查找，每次关键字的比较结果为"="或"!="两种可能，其平均时间为o(n)；其余的查找均是对有序集合的查找，每次关键字的比较有"="、"<"和">"三种可能，且每次比较后均能缩小下次的查找范围，故查找速度更快，其平均时间为o(lgn)。而散列法是根据关键字直接求出地址的查找方法，其查找的期望时间为o(1)。

　　例子：例子：选取哈希函数h(k)=(3k)%11,用线性探测再散列法处理冲突。

试在0～10的散列地址空间中，对关键序列22,41,53,46,30,13,01,67构造哈希表，并求等概率情况下查找不成功的平均查找长度asl。

 

#include "ds.h"
#define 	NULL_KEY 	0 			// 0为无记录标志
#define 	N 			10 			// 数据元素个数
#define		SUCCESS		1
#define		UNSUCCESS	0
#define		DUPLICATE	-1

#define 	EQ(a,b) 	((a)==(b))
typedef 	int 		KeyType; 	// 设关键字域为整型
struct ElemType // 数据元素类型
{
   	KeyType key;
   	int 	ord;
};

struct HashTable
{
	ElemType	*elem;				// 数据元素存储基地址，动态分配数组
	int 		count;				// 当前元素个数
	int			sizeindex;			// hashsize[sizeindex]为当前容量
};

int 	hashsize[]={11,19,29,37};	// 哈希表容量递增表，一个合适的素数序列
int 	m = 0;						// 哈希表表长，全局变量

// 哈希函数的基本操作
void InitHashTable(HashTable &H)
{
	int i;
	H.count = 0;				// 当前元素个数为0
	H.sizeindex = 0;			// 初始存储容量为hashsize[0]
	m = hashsize[0];
	H.elem = (ElemType*)malloc(m*sizeof(ElemType));
	if (!H.elem)
		exit(OVERFLOW);
	for (i = 0; i < m; i++)
	{
		H.elem[i].key = NULL_KEY;	// 未填记录的标志
	}
}

// 销毁哈希表H
void DestroyHashTable(HashTable &H)
{
	if (H.elem)
		free(H.elem);
	H.elem = NULL;
	H.count = 0;
	H.sizeindex = 0;
}

// 一个简单的哈希函数(m为表长，全局变量)
unsigned Hash(KeyType K)
{
	return K%m;
}

// 线性探测再散列
void collision(int &p, int d)
{
	// 开放定址法处理冲突
	p = (p + d)%m;
}

// 在开放定址哈希表H中查找关键码为K的元素，若查找成功，以p指示待查数据
// 元素在表中位置，并返回SUCCESS；否则，以p指示插入位置，并返回UNSUCCESS
// c用以计冲突次数，其初值置零，供建表插入时参考。算法9.17
Status SearchHash(HashTable H, KeyType K, int &p, int &c)
{
	p = Hash(K);	 // 求得哈希地址
	// 该位置中填有记录．并且关键字不相等
	while (H.elem[p].key != NULL_KEY && !EQ(K, H.elem[p].key))
	{
		c++;
		if (c < m)
			collision(p, c);	// 求得下一探查地址p
		else
			break;
	}
	
	if (EQ(K, H.elem[p].key))
		return SUCCESS;			// 查找成功，p返回待查数据元素位置
	else
		return UNSUCCESS;	// 查找不成功(H.elem[p].key==NULL_KEY)，p返回的是插入位置
}

Status InsertHash(HashTable &,ElemType); // 对函数的声明

// 重建哈希表
void RecreateHashTable(HashTable &H)
{
	int i, count = H.count;
	ElemType *p, *elem = (ElemType*)malloc(count * sizeof(ElemType));
	p = elem;
	
	printf("重建哈希表\n");
   	for (i = 0; i < m; i++) // 保存原有的数据到elem中
     	if ((H.elem + i)->key != NULL_KEY) // 该单元有数据
       		*p++ = *(H.elem+i);
    
    H.count = 0;
    H.sizeindex++;				// 增大存储容量
    m = hashsize[H.sizeindex];
    p = (ElemType*)realloc(H.elem, m*sizeof(ElemType));
    if (!p)	exit(OVERFLOW);
    
    H.elem = p;
    for (i = 0; i < m; i++)
    {
    	H.elem[i].key = NULL_KEY;	// 未填记录的标志(初始化)
    }
    
    for (p = elem; p < elem + count; p++)// 将原有的数据按照新的表长插入到重建的哈希表中
    	InsertHash(H, *p);
	
}

// 查找不成功时插入数据元素e到开放定址哈希表H中，并返回OK；
// 若冲突次数过大，则重建哈希表，算法9.18
Status InsertHash(HashTable &H, ElemType e)
{
	int c, p;
	c = 0;
	if (SearchHash(H, e.key, p, c))
		return DUPLICATE;
	else if (c < hashsize[H.sizeindex]/2)	// 冲突次数c未达到上限，(c的阀值可调)
	{
		H.elem[p] = e;
		++H.count;
		return OK;
	}
	else
	{
		RecreateHashTable(H);
		return UNSUCCESS;
	}
}

void TraverseHash(HashTable H, void(*Vi)(int, ElemType))
{
	printf("哈希地址0～%d\n",m-1);
	for(int i=0;i<m;i++)
     	if(H.elem[i].key!=NULL_KEY) // 有数据
       		Vi(i,H.elem[i]);
}

// 在开放定址哈希表H中查找关键码为K的元素，若查找成功，以p指示待查数据
// 元素在表中位置，并返回SUCCESS；否则，返回UNSUCCESS
Status Find(HashTable H, KeyType K, int &p)
{
	int c = 0;
	p = Hash(K);	// 求得哈希地址
	
	// 该位置中填有记录．并且关键字不相等
	while (H.elem[p].key != NULL_KEY && !EQ(K, H.elem[p].key))
	{
		c++;
		if (c < m)
			collision(p, c);	// 求得下一探查地址p
		else
			return UNSUCCESS;			// 查找不成功
	}
	
	if (EQ(K, H.elem[p].key))
		return SUCCESS;			// 查找成功，p返回待查数据元素位置
	else
		return UNSUCCESS;		// 查找不成功(H.elem[p].key==NULL_KEY)
}

void print(int p,ElemType r)
{
   	printf("address=%d (%d,%d)\n", p, r.key, r.ord);
}

int main()
{
	ElemType r[N] = {{17,1},{60,2},{29,3},{38,4},{1,5},{2,6},{3,7},{4,8},{60,9},{13,10}};
	HashTable 	h;
	int 		i, p;
	Status		j;
	KeyType		k;
	InitHashTable(h);
	// 插入前N-1个记录
	for (i = 0; i < N - 1; i++)
	{
		j = InsertHash(h, r[i]);
		if (DUPLICATE == j)
			 printf("表中已有关键字为%d的记录，无法再插入记录(%d,%d)\n",r[i].key,r[i].key,r[i].ord);
	}
	
	 printf("按哈希地址的顺序遍历哈希表:\n");
   	TraverseHash(h,print);
   	printf("请输入待查找记录的关键字: ");
   	scanf("%d",&k);
   	j = Find(h, k, p);
   	if(j==SUCCESS)
     	print(p,h.elem[p]);
   	else
     	printf("没找到\n");
   	j = InsertHash(h, r[i]); // 插入第N个记录
   	if(j==ERROR) // 重建哈希表
     	j=InsertHash(h,r[i]); // 重建哈希表后重新插入
   	printf("按哈希地址的顺序遍历重建后的哈希表:\n");
   	TraverseHash(h,print);
   	printf("请输入待查找记录的关键字: ");
   	scanf("%d",&k);
   	j=Find(h,k,p);
   	if(j==SUCCESS)
   	  	print(p,h.elem[p]);
   	else
     	printf("没找到\n");
   	DestroyHashTable(h);
}