多项式mod的运算方法

伽罗华域(Galois Field，GF)中关于多项式的mod运算过程，也不知道这样称合适不。这里主要是以构造GF(2^3)域为例，说明mod的运算过程，

假设本原多项式为p(x)=x^3+x+1，α定义为 p(x)= 0的根，即 α^3＋α＋1 = 0，

GF(2^3)中的元素可计算如下：

0	mod(α^3＋α＋1) = 0
α^0	mod(α^3＋α＋1) = α0 = 1
α^1	mod(α^3＋α＋1) = α1
α^2	mod(α^3＋α＋1) = α2
α^3	mod(α^3＋α＋1) = α＋1
α^4	mod(α^3＋α＋1) = α2＋α
α^5	mod(α^3＋α＋1) = α2＋α1＋1
α^6	mod(α^3＋α＋1) = α2＋1
α^7	mod(α^3＋α＋1) = α0
α^8	mod(α^3＋α＋1) = α1
……

这里我主要想讲的一点是关于这个mod(α^3＋α＋1)的运算过程，如下：

先以α^3为例,

得到 α^3mod(α^3＋α＋1) = α + 1

α幂次小于3的情况都还比较好理解，α幂次大于等于3的运算方法困扰了我很久，不过终于找到了运算方法，解说α5mod (α3＋α＋1)的运算过程：

得到 α^5mod(α^3＋α＋1) = α^2 + α + 1

计算的方法还是比较简单，但是要知道这个过程，其他项依次类推，不太会用公式编辑器，就不再举例了。再说明一点，同幂次间的加减计算都是模2和，即按位异或运算，所以上面公式中的同幂次间的减法运算均是是系数的异或结果。