RANSAC与最小二乘算法的应用

原文转自：http://blog.csdn.net/viewcode/article/details/7828178

RANSAC的原理介绍有：http://en.wikipedia.org/wiki/Ransac

最小二乘法least squares的原理介绍有： http://en.wikipedia.org/wiki/Least_squares

两者的共同点都是要首先确定模型，模型分为线性模型与非线性模型。

一般常见的应用是线性模型，如 f(x) = kx + t。

在应用上，二者的差别是，least squares对噪声比较敏感，算法简单。而RANSAC能去除一些噪声的干扰，如果假定模型与实际的情形一致，那么一般由观测数据计算的RANSAC模型，更能接近实际情况，去除观测或过程噪声干扰，算法稍微复杂些。

最小二乘least squares通过最小化 测量数据与模型数据的平方和， 求出模型参数。

e = sum(Yi - f(Xi)), e是k与t的二次函数，求其最小，即求其极值。求偏导dk = 0， dt = 0。可以计算出k与t值。

RANSAC的线性拟合算法步骤大致如下：

while 最大尝试次数

    从观测点集中随机取两点，计算出直线的参数k, t（或者k用向量表示），得出一个候选的直线模型。

    计算候选直线与整个点集的匹配程度，可以采用统计在直线上（或到直线的距离小于一个阈值）的点的个数。

    保留匹配程度最好的直线的参数。

    如果本次尝试匹配点的个数 占整个点集大部分，超出预期（阈值），提前结束尝试。

endwhile

匹配程度也可以用其他指标来衡量，替换上面的匹配计算。

误差/性能分析：

最小二乘的误差为e，但一般用相关系数r来表示, r越接近1，模型越好，r = 0，拟合无意义，模型不实际情况不符合。

RANSAC的误差一般用在拟合直线的一个范围内，在此范围内点的个数占整个点集比例 来衡量。

最小二乘法，也可以先进行去除离群点的数据预处理，应用RANSAC或穷举的方法，利用任意两点计算一条直线，将距离直线太远的点设置为离群点，距离直线较近的点为符合条件的点。循环处理，比较群内点的个数，记录下群内点数最多的集合。 这些点就是 去除离群点 的点集合，利用这些点再进行最小二乘法拟合 -_-!!!。

在图像处理及图形学中，这两种算法经常被用到。特别是RANSAC，在opencv的三维重构和标定模块中有很多应用，如solvePnPRansac，findHomography，estimateAffine3D等。