有趣的Google面试题 - Harry Potter走矩阵

MITBBS上看了一道有趣的G家面试题，题目如下：

有一个2维矩阵，假设你是Harry Potter，在矩阵的左上角，你现在要走到右下角。矩阵中每个点都有一个权值，有正数也有负数，遇到正数表示你的生命力能增加那么多，遇到负数表示生命力减少那么多，在任何时刻如果你的生命力小于0，那么你就挂了。在一开始你有一定的初始生命力，现在问这个初始的生命力最少是多少，才能保证你能够找到一条路。走到右下角。每一步只能向右或者向下。

其实这个题目看起来很像LeetCode里的Minimum Path Sum,也是从左上角走到右下角，只不过这里不是求总权值最小的路径而已。那么这题是不是用同样的方法就可以解决了呢？现在分析下题目的相似处和不同处。

相似处：都是求最优解问题，而且都具有递归性质。一般这种题目要么用贪心，要么用DP。稍微分析下，这里用贪心肯定不行的，如果一开始碰到两个权值都为正的方向，直接贪心地选择走权值更大的那个，那么之后如果遇到一个无法预见的很大的负权值的点，显然就会吃亏。由此观之，局部最优无法保证全局最优，故解题思路应该为DP。

不同处：

1）这里一个重要的条件是生命值在任何时刻都必须不能为负数，所以如果简单的考虑讲到达终点时的生命值最大化，不一定能保证此题的最优解。

考虑如下矩阵：

0 0 0 0 
0 0 -6 0
0 -5 20 0
0 0 0 1

容易看出，这里走通过-5和20的路径可以保证最后的生命值最大化，然而由于之前必须经过一个负权值点，所以这里最小的初始生命值为5。然而其实此题明显最优解是直接走两个边路中的一个，初始生命值为0即可。

2）使用DP时，除了需要归纳出递归表达式意外，还需要找到自底向上的base case。其实这个base case是可以引导推理的方向的。在Minimum Path Sum题目里，显然base case是在左上角时，因为最小的和就是当前左上角这个点的权值了。这样一来，从左上角往右下角推理会很顺畅。这一题中，左上角的值其实是所求，而base case其实应该在右下角，必须在终点的时候不为负数。（在起点的时候生命值仅仅不为负是无法保证能够一直走完全程的。）所以，这题应该从右下角往左上角推理。

如果设M和N分别为矩阵的两边长，dp[i][j]表示在没有加上matrix[i][j]的权值之前所需的最小的生命值，我们这题其实就是求的dp[0][0]。

Base Case: 对于最右下角，由于需要dp[M - 1][N - 1] + matrix[i][j] >= 0，可以得到dp[M - 1][N - 1] >= -matrix[i][j]。如果这里的matrix[i][j]为正数，那么dp[M - 1][N - 1]最小值就为负数，是题目不允许的，所以：

dp[M - 1][N - 1] = MAX{-1 * matrix[M - 1][N - 1], 0}

Recursion: 对于任意一个dp[i][j], 

1）如果向下延伸至dp[i + 1][j]，可得dp[i][j] + matrix[i][j] >= dp[i + 1][j]，且dp[i][j] >= 0。所以 dp[i][j] = MAX{dp[i + 1][j] - matrix[i][j], 0}

2）如果向右延伸至dp[i][j + 1]，可得dp[i][j] + matrix[i][j] >= dp[i][j + 1]，且dp[i][j] >= 0。所以 dp[i][j] = MAX{dp[i][j + 1] - matrix[i][j], 0}

综上， dp[i][j] = MIN{ MAX{dp[i + 1][j] - matrix[i][j], 0}, MAX{ dp[i][j + 1] - matrix[i][j], 0} }。

注意，另外两条边上的dp值只需要沿一个方向递归，所以需要特殊处理。代码如下：

	public int minStrength(int[][] matrix) {
		int M = matrix.length, N = matrix[0].length;
		int[][] dp = new int[M][N];

		dp[M - 1][N - 1] = Math.max(-1 * matrix[M - 1][N - 1], 0);
		for (int i = M - 2; i >= 0; i--) {
			dp[i][N - 1] = Math.max(dp[i + 1][N - 1] - matrix[i][N - 1], 0);
		}
		for (int i = N - 2; i >= 0; i--) {
			dp[M - 1][i] = Math.max(dp[M - 1][i + 1] - matrix[M - 1][i], 0);
		}

		for (int i = M - 2; i >= 0; i--) {
			for (int j = N - 2; j >= 0; j--) {
				dp[i][j] = Math.min(Math.max(dp[i + 1][j] - matrix[i][j], 0),
						Math.max(dp[i][j + 1] - matrix[i][j], 0));
			}
		}
		return dp[0][0];
	}