leetcode || 69、Sqrt(x)

problem:

Implement int sqrt(int x).

Compute and return the square root of x.

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题意：计算平方根，没有指定精度，默认精度为0.00001

thinking:

（1）由于题中没有设置精度，提示使用二分法

（2）除了二分法，还可以使用牛顿迭代

code: 

二分法：

class Solution{
    public:
    
int sqrt(int x) {
        unsigned long long begin = 0;
        unsigned long long end = (x+1)/2;
        unsigned long long mid;
        unsigned long long tmp;
        while(begin < end)
        {
            mid = begin + (end-begin)/2;
            tmp = mid*mid;
            if(tmp==x)return mid;
            else if(tmp<x) begin = mid+1;
            else end = mid-1;
        }
        tmp = end*end;
        if(tmp > x)
            return end-1;
        else
            return end;
    }
};

牛顿迭代：

   为了方便理解，就先以本题为例：

   计算x² = n的解，令f(x)=x²-n，相当于求解f(x)=0的解，如左图所示。

   首先取x₀，如果x₀不是解，做一个经过(x₀,f(x₀))这个点的切线，与x轴的交点为x₁。

   同样的道理，如果x₁不是解，做一个经过(x₁,f(x₁))这个点的切线，与x轴的交点为x₂。

   以此类推。

   以这样的方式得到的x_i会无限趋近于f(x)=0的解。

   判断x_i是否是f(x)=0的解有两种方法：

   一是直接计算f(x_i)的值判断是否为0，二是判断前后两个解x_i和x_i-1是否无限接近。

 

经过(x_i, f(x_i))这个点的切线方程为f(x) = f(x_i) + f’(x_i)(x - x_i)，其中f'(x)为f(x)的导数，本题中为2x。令切线方程等于0，即可求出x_i+1=x_i - f(x_i) / f'(x_i)。

继续化简，x_i+1=x_i - (x_i² - n) / (2x_i) = x_i - x_i / 2 + n / (2x_i) = x_i / 2 + n / 2x_i = (x_i + n/x_i) / 2。

有了迭代公式x_i+1= (x_i + n/x_i) / 2，程序就好写了。关于牛顿迭代法，可以参考wikipedia以及百度百科。

class Solution {
public:
    int sqrt(int x) {
        if(x<0)
         return -1;
        double a=1.0;
        double check=0;
        do{
            a=(x/a+a)/2;
            check = a*a;
        }while(abs(check-x)>0.00001);
        return a;
    }
};