搜索图的最短路径之Dijk
理论部分我就用：http://blog.sina.com.cn/s/blog_4b9aefc20100zu8h.html
希望到原文章看更详细的解释！
１ 最短路径算法
在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。 算法具体的形式包括：（１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。
（２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
（３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。
（４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。
用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”， 有时被简称作“路径算法”。 最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。
本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。
２ Dijkstra算法
2.1 Dijkstra算法
Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
2.2 Dijkstra算法思想
Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将 加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
2.3 Dijkstra算法具体步骤
（1）初始时，S只包含源点，即S＝，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或 ）（若u不是v的出边邻接点）。
（2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
（3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（u U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
（4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。
2.4 Dijkstra算法举例说明
如下图，设A为源点，求A到其他各顶点（B、C、D、E、F）的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离，即权值。（注：此图为随意所画，其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等）
图一：Dijkstra无向图
我们要做的就是模拟这个搜索过程，这种贪心算法的代价还是比较大的
原图来自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_4b9aefc20100zu8h.html
这里利用path来记录路径，表示到达第i个点的最短路径上一个点是path[i]
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// Name : GraphPath.cpp
// Author : YLF
// Version :
// Copyright : Your copyright notice
// Description : Hello World in C++, Ansi-style
//============================================================================
#include <iostream>
using namespace std;
#define MAX_DIST 1000
#define MAX 10
bool Dijk(int matrix[MAX][MAX], int *path, int src, int dst, int n);
void ShowResult(int *path, int *dist, bool *visited, int n,int src, int dst);
int main() {
int matrix[MAX][MAX];
int n = 0;
int src = 0;
int dst = 0;
int path[MAX];
int i = 0, j = 0;
for(i=0;i<MAX;i++)
for(j=0;j<MAX;j++)
matrix[i][j] = MAX_DIST;
cout<<"input number of node:"<<endl;
cin>>n;
cout<<"input dist between nodes:"<<endl;
int row = 0, col = 0, length = 0;
while(true){
cin>>row>>col>>length;
if(row!=-1 && col!=-1 && length!=-1){
matrix[row][col] = length;
matrix[col][row] = length;
}else
break;
}
for(i=0;i<n;i++){
for(j=0;j<n;j++)
cout<<matrix[i][j]<<"\t";
cout<<endl;
}
cout<<"the src and dst:";
cin>>src>>dst;
Dijk(matrix, path, src, dst, n);
return 0;
}
bool Dijk(int matrix[MAX][MAX], int *path, int src, int dst, int n){
bool visited[n];
int dist[n];
int i = 0;
for(i=0;i<n;i++){
visited[i] = false;
if(src == i)
dist[i] = 0;
else
dist[i] = MAX_DIST;
}
//先初始化visited 从src到可一步到达的点的距离
int mid = src;
int minDist = MAX_DIST;
bool flag = true;
while(flag){
for(i=0;i<n;i++){
if(i != src){
int temp = dist[mid] + matrix[i][mid];
if(temp<dist[i]){
dist[i] = temp;
path[i] = mid;
}
}
}
visited[mid] = true;
minDist = MAX_DIST;
for(i=0;i<n;i++){
if(!visited[i] && dist[i] < minDist){
minDist = dist[i];
mid = i;
}
}
if(minDist >= MAX_DIST)
flag = false;
if(mid == dst)
flag = false;
}
ShowResult(path, dist, visited, n, src, dst);
return true;
}
void ShowResult(int *path, int *dist, bool *visited, int n,int src, int dst){
int i = 0;
cout<<"path:";
int tempPath = dst;
cout<<tempPath;
while(tempPath != src){
cout<<"<--"<<path[tempPath];
tempPath = path[tempPath];
}
cout<<endl<<"dist:";
for(i=0;i<n;i++){
cout<<dist[i]<<" ";
}
cout<<endl<<"visted:";
for(i=0;i<n;i++){
cout<<visited[i]<<" ";
}
}
测试结果如下：
input number of node: 6 input dist between nodes: 0 1 6 0 2 3 1 2 2 1 3 5 2 3 3 3 4 2 3 5 3 4 5 5 -1 -1 -1 1000 6 3 1000 1000 1000 6 1000 2 5 1000 1000 3 2 1000 3 1000 1000 1000 5 3 1000 2 3 1000 1000 1000 2 1000 5 1000 1000 1000 3 5 1000 the src and dst:0 5 path:5<--3<--2<--0 dist:0 5 3 6 8 9 visted:1 1 1 1 1 0