回溯算法---过河问题

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过河问题：
　　
　　有三个商人和三个仆人过河，只有一条能装下两个人的船，在河的任何一岸上，如果仆人的人数大于商人的人数，那么该岸上的商人就会有危险。你能不能找出一种安全的渡河方法呢？
　　
　　过河问题是一个比较出名的问题，借解这个问题的同时,我们来讲讲回溯算法.
　　首先,我们来分析下问题,商人们要过河,无非就是实现从全部未过河的状态到全部过河的状态.那么,问题可以转变为这样:
　　左岸:商人3,仆人3=>右岸:商人3,仆人3.即要通过一定的步骤实现状态的转变。而每一个状态(每次都是指船到岸,并不包含船在水中央时的情况)包含有如下几个因素:
　　1.左岸商人数;
　　2.左岸仆人数;
　　3.船在哪岸,即轮到哪岸的人上船.
　　至于右岸的商人数和仆人数到底是多少,我们不必再记上,因为知道了左岸的人,就可以推算出右岸的人。这样分析,问题便变为:
　　(3,3,1)=?=>(0,0,0).其中括号描述如下:(左岸商人数,左岸仆人数,船在左岸?1:0).
　　
　　接下来分析商人有危险的状态。可设一个matrix[4][4]的布尔型数组。matrix[i][j]表示i个商人,j个仆人时是否安全的信息。判断是否安全的标准为哪岸的仆人数大于商人数,这岸的商人就会有危险(当然,哪一岸商人为0时,也是没危险的).用两重循环,可很快解决问题:
　　for(int i=0;i<4;i++)
　　 for(int j=0;j<4;j++)
　　 {
　　 if(i==j||i==0||i==3);
　　 else matrix[i][j]=true;/*其中为真时,表示有危险.*/
　　 }
　　
　　再来分析人可以乘船的方案:以(商人数,仆人数)来表示,很明显，乘船的方案为如下5种:{0,2},{1,1},{2,0},{0,1},{1,0}.
　　接着就是想算法了.一开始状态为(3,3,1),通过5种乘船方案,可转变为5种状态:(3,1,0),(2,2,0),(1,3,0),(3,2,0), (2,3,0).其中matrix[i][j]为true或者不合理或者重复状态的去掉,继续向下拓展.直到出现(0,0,0)为止.从表面上看,这样似乎并不好写。这就要用到了回溯算法.所谓回溯，就是寻找问题的解的一种可靠的方法是首先列出所有候选解，然后依次检查每一个，在检查完所有或部分候选解后，即可找到所需要的解。
　　
　　回溯方法的步骤如下：
　　1) 定义一个解空间，它包含问题的解。
　　2) 用适于搜索的方式组织该空间。
　　3) 用深度优先法搜索该空间，利用限界函数避免移动到不可能产生解的子空间。
　　
　　回溯的这个深层搜索特性，便决定了它通常要用递归来做。应用到这题，显然递归的出口就是出现（0，0，0，）状态的时候。应用回溯的时候,通常有一个要特别要注意的地方,就是深入搜索完成的时候，要记得恢复前一步的状态，以便下一状态的转变。这在下面的程序会用黑体显现出来，这一点一定要注意，笔者自己也曾多次犯此错误。
　　现把这个问题的全部代码附上：
　　＃i nclude
　　＃i nclude
　　using namespace std;
　　bool matrix[4][4],turn;
　　int record[128][2],pos=1;
　　bool check[128];
　　/*判断这一状态是否在前面已经出现过*/
　　bool isRepeat(int x,int y,bool turn)
　　{
　　 for(int i=0;i<POS;I++)
　　 if(x==record[i][0]&&y==record[i][1]&&turn==check[i])
　　 return true;
　　 return false;
　　}
　　void search(int px,int py)
　　{
　　 static int goStep[5][2]={{0,2},{1,1},{2,0},{0,1},{1,0}};
　　 int i;
　　 if(px==0&&py==0)
　　 {
　　 for(i=0;i<POS;I++)
　　 {
　　 cout<<"("<<RECORD[I][0]<<","<<RECORD[I][1]<<
　　 ")<==>("<<3-record[i][0]<<","<<3-record[i][1]<<")"<<ENDL;
　　 }
　　 system("pause");
　　 }
　　 else if(turn==false)
　　 {
　　 for(i=0;i<5;i++)
　　 {
　　 px-=goStep[i][0];
　　 py-=goStep[i][1];
　　 if(px<0||px>3||py<0||py>3||matrix[px][py]||isRepeat(px,py,turn))
　　 {
　　 px+=goStep[i][0];
　　 py+=goStep[i][1];
　　 continue;
　　 }
　　 record[pos][0]=px,record[pos][1]=py;
　　 check[pos]=turn;
　　 pos++;
　　 turn=(turn==true?false:true);
　　 search(px,py);
　　 pos--;
　　 turn=(turn==true?false:true);
　　 px+=goStep[i][0];
　　 py+=goStep[i][1];
　　 }
　　 }
　　 else
　　 {
　　 for(i=0;i<5;i++)
　　 {
　　 px+=goStep[i][0];
　　 py+=goStep[i][1];
　　 if(px<0||px>3||py<0||py>3||matrix[px][py]||isRepeat(px,py,turn))
　　 {
　　 px-=goStep[i][0];
　　 py-=goStep[i][1];
　　 continue;
　　 }
　　 record[pos][0]=px,record[pos][1]=py;
　　 check[pos]=turn;
　　 pos++;
　　 turn=(turn==true?false:true);
　　 search(px,py);
　　 pos--;
　　 turn=(turn==true?false:true);
　　 px-=goStep[i][0];
　　 py-=goStep[i][1];
　　 }
　　 }
　　}
　　int main()
　　{
　　 int px=3,py=3;
　　 for(int i=0;i<4;i++)
　　 for(int j=0;j<4;j++)
　　 {
　　 if(i==j||i==0||i==3);
　　 else matrix[i][j]=true;
　　 }
　　 record[0][0]=record[0][1]=3;
　　 check[0]=true;
　　 search(px,py);
　　 return 0;
　　}