ZOJ 3621 Factorial Problem in Base K（K进制）

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题意：

求 s 的阶乘在 k 进制下阶乘的末尾 0 的个数。（s 以 k 进制形式给出）

解题思路：

先考虑关于任意一个数 x 在 k 进制下末尾 0 的个数等价于求什么。

首先，x 可以表示成 a[0] * k^0 + a[1] * k^1 + ... + a[m] * k^m 的形式。

如果 x 的末尾有 b 个 0，那么 a[0], a[1], ... , a[b-1] 都等于 0，即 x 又能表示成 a[b] * k^b + a[b+1] * k^(b+1) + ... + a[m] * k^m，

进一步地，提取公因式 k^b，表示成 y * k^b，且有 y % k = a[b] % k != 0。

所以，只要找到最大的 b，满足 x % k^b = 0，就是我们要的答案。

如果这题只是问 x 的话，直接暴力找就可以了，复杂度才 O(log(k,x))。

但是问的是 x 的阶乘，不妨把问题转化一下，把 x 和 k 全部表示成素数相乘的形式，

那么即使是对于阶乘，我们同样可以求得 x 的阶乘对于某个素因子 p 的指数。

最后，对于 k 的每个素因子 p，在 x 的表示中对指数取个 min 就是答案了。

#include <vector>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e2 + 5;

char str[N];

int digit(char c)
{
    if(c >= '0' && c <= '9')
        return c - '0' + 0;
    else if(c >= 'A' && c <= 'Z')
        return c - 'A' + 10;
    else
        return 'Z' - 'A' + 11 + c - 'a';
}

bool is_prime(int x)
{
    if(x == 1)
        return false;
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
        if(x % i == 0)
            return false;
    return true;
}

long long cnt(long long x,int p)
{
    long long ret = 0;
    while(x >= p)
    {
        ret += x / p;
        x /= p;
    }
    return ret;
}

int main()
{
    int k;
    while(~scanf("%s%d",str,&k))
    {
        long long s = 0;
        int len = strlen(str);
        for(int i=0;i<len;i++)
        {
            s = s * k + digit(str[i]);
        }
        long long ans = (1ULL << 63) - 1;
        for(int i=2;i<=k;i++)
        {
            if(k % i != 0 || !is_prime(i))
                continue;
            int d = 0;
            while(k % i == 0)
            {
                k /= i;
                d++;
            }
            ans = min(ans, cnt(s,i) / d);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
	return 0;
}