Zoj 3537 Cake (区间DP_最优三角形剖分)

题目链接：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3537

题目大意：给定n个点的坐标，先问这些点是否能组成一个凸包，如果是凸包，问用不相交的线来切这个凸包使得凸包只由三角形组成，根据costi, j = |xi + xj| * |yi + yj| % p算切线的费用，问最少的切割费用。

解题思路：很经典的最优三角剖分模型加一点计算几何的知识。先判断是否为凸包，这个排个序就好弄，我是让队友写个求凸包函数，返回凸包中的顶点数量再与n比较。这一步处理完之后就是用n-3条直线将凸包切成n-2个三角形。

    

     我们要切的是以1和n为起始点的凸包，由于切线不能相交，那么选择1点和n点必有另外一点S要和它们组成一个三角形，然后凸包被分成三个部分:k0,k1,k2，，然后把k1看成一个以n点S点位起始点的凸包，是不是又可以用相同的方法处理这个凸包呢？答案是肯定，就是这样慢慢地将凸包分成一个个子凸包计算费用，最后再更新到点1和点n为起始点的凸包。

    模拟上面的过程，设Dp[i][j]为以i为起点，j为终点的凸包被切割成一个个小三角形所需要的费用。那么dp[i][j] = min(dp[i][k]+dp[k][j]+cost[i][k]+cost[k][j]),(j >= i+ 3,i+1<=k<=j-1,cost[i][k]为连一条i到k的线的费用)，因为dp[i][j]只表示为以i为起点，j为终点的凸包内部被切割的费用，所以在连线的时候可以加上边界费用而不算重复计算。

测试数据：

3 3
0 0
1 1
0 2

4 100
0 0
1 0
0 1
1 1

4 100
0 0
3 0
0 3
1 1

OutPut:
0
1
I can't cut.

C艹代码：

#include <stdio.h>  
#include <string.h>  
#include <math.h>  
#include <algorithm>  
using namespace std;  
#define MAX 1000  
#define INF 1000000000  
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))  
  
  
struct point{  
  
    int x,y;  
}p[MAX];  
int cost[MAX][MAX],n,m;  
int dp[MAX][MAX];  
  
  
int abs(int x) {  
  
    return x < 0 ? -x : x;  
}  
point save[400],temp[400];  
int xmult(point p1,point p2,point p0){  
  
    return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p2.x-p0.x)*(p1.y-p0.y);  
}  
bool cmp(const point& a,const point &b){  
  
    if(a.y == b.y)return a.x < b.x;  
    return a.y < b.y;  
}  
int Graham(point *p,int n) {  
  
    int i;  
    sort(p,p + n,cmp);  
    save[0] = p[0];  
    save[1] = p[1];  
    int top = 1;  
    for(i = 0;i < n; i++){  
  
        while(top && xmult(save[top],p[i],save[top-1]) >= 0)top--;  
        save[++top] = p[i];  
    }  
  
  
    int mid = top;  
    for(i = n - 2; i >= 0; i--){  
  
        while(top>mid&&xmult(save[top],p[i],save[top-1])>=0)top--;  
        save[++top]=p[i];  
    }  
    return top;  
}  
int Count(point a,point b) {  
  
    return (abs(a.x + b.x) * abs(a.y+b.y)) % m;  
}  
  
  
int main()  
{  
    int i,j,k,r,u;  
      
      
    while (scanf("%d%d",&n,&m) != EOF) {  
          
        for (i = 0; i < n; ++i)  
            scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);  
          
  
        int tot = Graham(p,n);  //求凸包  
        if (tot < n) printf("I can't cut.\n");  
        else {  
              
            memset(cost,0,sizeof(cost));  
            for (i = 0; i < n; ++i)  
                for (j = i + 2; j < n; ++j)  
                    cost[i][j] = cost[j][i] = Count(save[i],save[j]);  
          
                  
            for (i = 0; i < n; ++i) {  
          
                for (j = 0; j < n; ++j)  
                    dp[i][j] = INF;  
                dp[i][(i+1)%n] = 0;  
            }  
            for (i = n - 3; i >= 0; --i) //注意这三个for循环的顺序  
                for (j = i + 2; j < n; ++j) //因为要保证在算dp[i][j]时dp[i][k]和dp[k][j]时已经计算，所以i为逆序，j要升序  
                    for (k = i + 1; k <= j - 1; ++k)  
                        dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k][j]+cost[i][k]+cost[k][j]);  
  
  
            printf("%d\n",dp[0][n-1]);  
        }  
    }  
}