n个不同小球分配到m个相同的非空盒的方法数 组合数学-第二类stirling数

本问题等价于把n个不同的球划分/分配为m份。

组合数学概念：斯特林stirling数

    斯特林数出现在许多组合枚举问题中，有两类。

第一类斯特林数 StirlingS1[n,m]， 把p个对象排成k个非空循环排列的方法数。

第二类斯特林数 StirlingS2[n,m]给出把 p 个可区分小球分配到k个不可区分的盒子，且盒子没有空盒子的方法的数量。第一类斯特林数和第二类斯特林数有相同的初始条件，但递推关系不同。

本问题是典型的第二类斯特林数，存在递推关系：

很显然p要大于等于k。当p等于k时，只有1种分配方法。当k为0时，分配方法也是0。

然后分析递推关系：

p个球分为k份：对于某一个球，如果单独拿出来作为1份，那么剩下的问题就是p-1个球分为k-1份；如果跟其他球在一起，其他球的问题是p-1个球分为k份，这k份我都可以把这个球放进去，有k种情况。

设S(p,k)，则递推公式是：
当1<= k <=p-1， S(p,k) = k*S(p-1,k) + S(p-1,k-1)
边界条件：
当p>=0，S(p,p) = 1
当p>=1，S(p,0) = 0

除了上面的递推式，《组合数学》中还有一种利用差分序列表的第0条对角线表示的式子。

代码：

int fun(int n, int m)
{
	if(n<m)
		return -1;
	else if(m == 0)
		return 0;
	else if(n == m)
		return 1;
	else
		return m*fun(n-1,m) + fun(n-1, m-1);
}