动态规划求解编辑距离

一、动态规划算法

      动态规划算法通常基于一个递推公式及一个或多个初始状态。当前问题的解将由上一次子问题的解推出。使用动态规划来解题只需要多项式复杂度，因此它比

回溯法、暴力法要快。首先，我们要找到某个状态的最优解，然后在它的帮助下，找到下一个状态的最优解。要做的是抽象出动态规划的状态和状态转移方程（递推公式）。

二、编辑距离

1、问题描述
设A和B是2个字符串。要用最少的字符操作将字符串A转换为字符串B。这里所说的字符操作包括:

(1)删除一个字符;
(2)插入一个字符；
(3)将一个字符改为另一个字符。
将字符串A变换为字符串B所用的最少字符操作数称为字符串A到B的编辑距离,记为d(A,B)。试设计一个有效算法,对任给的2个字符串A和B,计算出它们的编辑距离d(A,B)。
要求：
输入：第1行是字符串A,第2行是字符串B。
输出：字符串A和B的编辑距离d(A,B)

2、求解过程

用d[i,j]表示A[1.....i]到B[1.....j]的编辑距离，则

d[i,0]=i:表示长度为i的串A到一个空串的编辑距离，即为串A的长度;

d[0,j]=j:表示空串到一个长度为j的串B的编辑距离，即为串B的长度;

d[i,j]=d[i-1,j-1]: if A[i]==B[j];

d[i,j]=min(d[i-1,j-1](将A[i]替换成B[j]),d[i-1,j](将A[i]删除),d[i,j-1](在A[i]后插入B[j]))+1:if A[i] != B[j]。

java代码：

public class EditDistance {
 int min(int a,int b,int c) {  
     int t = a < b ? a : b;  
     return t < c ? t : c;  
 }  
 void editDistance(char[] s1,char[] s2) {
  int len1=s1.length;
  int len2=s2.length;
     int d[][]=new int[len1+1][len2+1];  
     int i,j;  
     for(i = 0;i <= len1;i++)  
         d[i][0] = i;  
     for(j = 0;j <= len2;j++)  
         d[0][j] = j;  
     for(i = 1;i <= len1;i++)  
         for(j = 1;j <= len2;j++)
         { 
             int cost = s1[i-1] == s2[j-1] ? 0 : 1;  
             int deletion = d[i-1][j] + 1;  
             int insertion = d[i][j-1] + 1;  
             int substitution = d[i-1][j-1] + cost;  
             d[i][j] = min(deletion,insertion,substitution);  
         }
     System.out.println(d[len1][len2]);
 }
 public static void main(String[] args)
 {
    EditDistance ed = new EditDistance();
    String a="abd";
    String b="bcd";
    ed.editDistance(a.toCharArray(),b.toCharArray());
 }

}