网络最大流

网络最大流是图论中的一个典型问题，为了精确的定义最大流问题，先给出下面几个定义。

       一、流网络:G（E,V）是一个有向图，对于G中的每一对顶点(u,v)均有一非负的容量c(u,v),如果(u,v)属于E，那么c(u,v)>0,否则c(u,v)=0.

       二、流：设G(E,V)是一个流网络，那么G的流是定义在V*V上的一个实值函数f,并且满足一下三个性质:

            1)容量限制：f(u,v)<=c(u,v)

            2)反对称性：f(u,v)=-f(v,u)

            3)流守恒性：简单点说就是：对于非源点，它流出的流量总和为0，对于非汇点，流入它的流量总和为0

       那么给定一个流网络，最大流问题就是求该流网络中，原点流出的最大流量或者是流入汇点的最大流量。如何求解这个问题：要引入一下三个概念。

        一、残余网络：在一个流网络中，给定一个流，那么我们可以根据这个流计算出对应的残余网络cf(u,v)=c(u,v)-f(u,v),值得注意的一点就是，如果f(u,v)为负，那么cf(u,v)就大于c(u,v)

        二、增广路径：这个其实很简单，在一个残余网络中，任何一条从源点S到汇点T的路径（cf(u,v)>0）都是增广路径。一条增广路径的流量是路径中cf(u,v)中的最小值。

        三、网络流的割：流网络G(E,V)的割（S,T）将流网络分解为S，T(V-S)两个部分，其中源点s属于S，汇点t属于T。于是我们定义割(S,T)的净流f(S,T)和容量c(S,T).其中f(S,T)为从S到T的流量总和减去从T到S的流量总和。而c(S,T)为从S到T的容量总和。

        基于以上三个概念，有如下总要定理：

        *最大流最小割定理

       对于一个流网络G=(E,V)，一下三个命题两两等价

       1）f是G的一个最大流

       2）残余网络Gf不存在增广路径

       3）对于G的某个割（S,T），f=c(S,T)且c(S,T)是G的某个最小割

       有了这个定理我们就可以找到解决最大流的算法。

       基本的Ford-Fulkerson算法：

       在残余网络中Gf中递归的寻找增广路径，直到找不到，那么此时的流f就是最大流。

       分析算法的效率：递归寻找增广路径的过程中，不管是DFS还是BFS每次都是O(E)的效率（邻接表），那么一共要寻找多少次增广路径呢？次数我们暂且写成f*,那么Ford-Fulkerson算法的效率为O(E*(f*))。显然如果f*很大，算法效率很低，具体的例子见算法导论。

       Edmonds-Karp算法（EK）：

       简单的说就是在寻找增广路径时使用BFS，可以证明f*=O(E*V/2)。

      证明过程需要如下的引理：

      一、对于流网络G=(V,E),如果进行EK算法，残余网络中Gf中的最短路径长度p(u,v)随着每次流的增加而单调递增。p(u,v)就是从u到v中的过程中路径的段数。u-i-j-v,p(u,v)=3

      二、对于流网络G=(V,E),如果进行EK算法，对流进行增加的次数为O(EK)

      对于引理二，有如下简单证明：

     首先定义关键边：关键边就是当找到增广路径后，路径中的一段(u,v)为残余网络中cf值最小的一段，那么它将在残余网络中消失，因为cf(u,v)将为0.

     一条边(u,v)从关键边，到消失，到再次成为关键边，p(s,v)至少增加了2,而图中共有V个节点，因此，任意一条边（u,v）最对(V-1)/2次成为关键边，那么G中共有E条边，就总共有O(EV)次成为关键边的过程，而一次关键边的过程就是一次流增加的过程。因此EK算法对流增加的次数为O(EV)

     因此EK算法的复杂度为O(E^2*V)。